📘 문제 이해 및 풀이 전략
실수 \(a, b\)에 대한 새로운 연산 \(*\)가 \(a * b = ab – a – b\)로 정의되어 있습니다. 이 연산과 절댓값을 포함하는 방정식 \((x – 5) * (x + 7) + |x * 3| – 8 = 0\)의 해를 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 연산 적용: 주어진 연산 \(*\)의 정의에 따라 \((x – 5) * (x + 7)\)과 \(x * 3\)을 각각 계산하여 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 정리: 계산된 식들을 원래 방정식에 대입하여 절댓값을 포함한 \(x\)에 대한 방정식을 만듭니다.
- 절댓값 처리 (경우 나누기): 절댓값 기호 안의 식 \(x * 3\)의 부호에 따라 경우를 나눕니다. 즉, \(x * 3 \ge 0\)인 경우와 \(x * 3 < 0\)인 경우로 나누어 절댓값 기호를 제거합니다.
- 각 경우별 방정식 풀이: 각 경우에서 얻어진 (이차)방정식을 풉니다.
- 조건 확인: 각 경우에서 구한 해가 해당 경우의 조건(예: \(x * 3 \ge 0\) 또는 \(x * 3 < 0\))을 만족하는지 확인합니다.
- 최종 해 집합: 조건을 만족하는 모든 해를 모아 최종 답을 결정합니다.
관련 개념:
- 새로운 연산의 정의 적용
- 절댓값 정의: \(|A| = \begin{cases} A & (A \ge 0) \\ -A & (A < 0) \end{cases}\)
- 이차방정식 풀이: 인수분해 또는 근의 공식 \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \((x – 5) * (x + 7)\) 계산
연산 \(a * b = ab – a – b\) 에서 \(a = x – 5\), \(b = x + 7\)로 놓고 계산합니다.
$$ (x – 5) * (x + 7) = (x – 5)(x + 7) – (x – 5) – (x + 7) $$
$$ = (x^2 + 7x – 5x – 35) – x + 5 – x – 7 $$
$$ = (x^2 + 2x – 35) – 2x – 2 $$
$$ = x^2 – 37 $$
Step 2: \(x * 3\) 계산
연산 \(a * b = ab – a – b\) 에서 \(a = x\), \(b = 3\)으로 놓고 계산합니다.
$$ x * 3 = x(3) – x – 3 $$
$$ = 3x – x – 3 = 2x – 3 $$
Step 3: 방정식 정리
Step 1과 Step 2의 결과를 원래 방정식 \((x – 5) * (x + 7) + |x * 3| – 8 = 0\)에 대입합니다.
$$ (x^2 – 37) + |2x – 3| – 8 = 0 $$
$$ x^2 + |2x – 3| – 45 = 0 $$
Step 4: 경우 나누기 (절댓값 처리)
절댓값 안의 식 \(2x – 3\)의 부호에 따라 경우를 나눕니다.
- 경우 (i): \(2x – 3 < 0\), 즉 \(x < \frac{3}{2}\) 일 때, \(|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3\)
- 경우 (ii): \(2x – 3 \ge 0\), 즉 \(x \ge \frac{3}{2}\) 일 때, \(|2x – 3| = 2x – 3\)
Step 5: 경우 (i) 풀이 (\(x < \frac{3}{2}\))
방정식 \(x^2 + |2x – 3| – 45 = 0\)에 \(|2x – 3| = -2x + 3\)을 대입합니다.
$$ x^2 + (-2x + 3) – 45 = 0 $$
$$ x^2 – 2x – 42 = 0 $$
이차방정식의 근의 공식을 사용합니다 (\(a=1, b=-2, c=-42\)).
$$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4(1)(-42)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 168}}{2} $$
$$ = \frac{2 \pm \sqrt{172}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \times 43}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{43}}{2} $$
$$ = 1 \pm \sqrt{43} $$
두 해는 \(x = 1 + \sqrt{43}\) 과 \(x = 1 – \sqrt{43}\) 입니다.
이 해들이 경우 (i)의 조건 \(x < \frac{3}{2} = 1.5\) 를 만족하는지 확인합니다.
- \(\sqrt{43}\)은 \(\sqrt{36}=6\) 보다 크므로, \(1 + \sqrt{43}\)은 \(1+6=7\)보다 큽니다. 따라서 \(1 + \sqrt{43} \not< 1.5\) 입니다. (조건 불만족)
- \(1 – \sqrt{43}\)은 \(1 – (\text{6보다 큰 값})\) 이므로 음수입니다. 따라서 \(1 – \sqrt{43} < 1.5\) 입니다. (조건 만족)
경우 (i)에서 얻는 해는 \(x = 1 – \sqrt{43}\) 입니다.
Step 6: 경우 (ii) 풀이 (\(x \ge \frac{3}{2}\))
방정식 \(x^2 + |2x – 3| – 45 = 0\)에 \(|2x – 3| = 2x – 3\)을 대입합니다.
$$ x^2 + (2x – 3) – 45 = 0 $$
$$ x^2 + 2x – 48 = 0 $$
이차방정식을 인수분해합니다. 곱해서 -48, 더해서 2가 되는 두 수는 8과 -6입니다.
$$ (x + 8)(x – 6) = 0 $$
두 해는 \(x = -8\) 과 \(x = 6\) 입니다.
이 해들이 경우 (ii)의 조건 \(x \ge \frac{3}{2} = 1.5\) 를 만족하는지 확인합니다.
- \(x = -8\)은 \( -8 \not\ge 1.5 \) 입니다. (조건 불만족)
- \(x = 6\)은 \( 6 \ge 1.5 \) 입니다. (조건 만족)
경우 (ii)에서 얻는 해는 \(x = 6\) 입니다.
Step 7: 최종 해 구하기
경우 (i)과 경우 (ii)에서 조건을 만족하는 해들을 모두 모으면,
방정식의 최종 해는 \(x = 1 – \sqrt{43}\) 또는 \(x = 6\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 새로운 연산 정의와 절댓값을 포함한 방정식을 푸는 능력을 종합적으로 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 새로운 연산 정의 이해 및 적용: 문제에서 주어진 연산 규칙(\(a*b = ab-a-b\))을 정확히 이해하고 식에 적용하여 계산하는 것이 첫 단계입니다.
- 절댓값 처리: 절댓값 기호가 포함된 방정식은 절댓값 안의 식이 0 이상인 경우와 음수인 경우로 나누어 푸는 것이 기본입니다. 각 경우에 대해 절댓값 기호를 제거한 후 방정식을 풀고, 얻어진 해가 해당 경우의 조건을 만족하는지 반드시 확인해야 합니다.
- 이차방정식의 풀이: 경우를 나누어 풀다 보면 이차방정식이 나타나는 경우가 많습니다. 인수분해 또는 근의 공식을 이용하여 정확하게 해를 구해야 합니다.
- 조건 만족 확인: 각 경우에서 구한 해가 해당 경우를 나누는 데 사용된 부등식 조건을 만족하는지 확인하는 과정은 필수적이며, 이를 누락하면 오답을 얻을 수 있습니다.
✅ 최종 정답
방정식의 해는 \(x = 1 – \sqrt{43}\) 또는 \(x = 6\) 입니다.
따라서 정답은 ⑤ 입니다.