📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 개의 이차방정식이 주어져 있고, 각 방정식의 근에 대한 정보와 근들 사이의 관계식이 주어졌습니다.
- 방정식 1: \(kx^2 + (1 – 4k)x – 4 = 0\). 서로 다른 두 근 \(\alpha, \beta\). (단, \(k \neq 0\) 이어야 이차방정식임)
- 방정식 2: \(x^2 – 4(k + 1)x + 16k = 0\). 서로 다른 두 근 \(\beta, \gamma\).
- 근의 관계: \(\beta – \alpha = \gamma – \beta\). 이 식은 \(2\beta = \alpha + \gamma\) 와 같으며, \(\alpha, \beta, \gamma\)가 이 순서대로 등차수열을 이룸을 의미합니다.
- 조건: \(\alpha \neq \gamma\).
목표는 상수 \(k\)의 값을 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 각 방정식의 근 구하기: 각 이차방정식을 인수분해하거나 근의 공식을 이용하여 근을 \(k\)로 표현합니다. (주어진 해설에서는 인수분해를 이용했습니다.)
- 공통근 식별: 두 방정식 모두 근 \(\beta\)를 가지므로, 공통근을 찾습니다.
- \(\alpha, \beta, \gamma\) 결정: 공통근 \(\beta\)를 이용하여 \(\alpha\)와 \(\gamma\)를 \(k\)로 표현합니다.
- 관계식에 대입 및 \(k\) 값 구하기: 결정된 \(\alpha, \beta, \gamma\)를 관계식 \(\beta – \alpha = \gamma – \beta\) (또는 \(2\beta = \alpha + \gamma\))에 대입하여 \(k\)에 대한 방정식을 세우고 풉니다.
- 조건 확인: 구한 \(k\) 값이 문제의 조건(서로 다른 두 근, \(\alpha \neq \gamma\), \(k \neq 0\))을 만족하는지 확인합니다.
관련 개념:
- 이차방정식의 근: 인수분해 또는 근의 공식 이용
- 공통근
- 등차수열: 연속된 세 항 \(a, b, c\)가 등차수열을 이루면 등차중항 \(b = \frac{a+c}{2}\) (즉, \(2b = a+c\)) 성립.
- 이차방정식의 근의 공식: \(ax^2+bx+c=0\)의 근은 \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 방정식의 근 구하기
방정식 \(kx^2 + (1 – 4k)x – 4 = 0\) 을 인수분해합니다.
곱해서 \(k \times (-4) = -4k\)가 되고, 더해서 \(1-4k\)가 되는 두 수를 찾습니다. \(-4k\)와 \(1\)을 이용하면 다음과 같이 인수분해됩니다.
$$ kx^2 – 4kx + x – 4 = 0 $$
$$ kx(x – 4) + 1(x – 4) = 0 $$
$$ (kx + 1)(x – 4) = 0 $$
따라서 첫 번째 방정식의 두 근 \(\alpha, \beta\)는 \(x = -\frac{1}{k}\) 와 \(x = 4\) 입니다.
\(\{ \alpha, \beta \} = \{ -\frac{1}{k}, 4 \}\)
(여기서 \(k \neq 0\) 이고, 두 근이 서로 다르므로 \(-\frac{1}{k} \neq 4\), 즉 \(k \neq -\frac{1}{4}\) 입니다.)
Step 2: 두 번째 방정식의 근 구하기
방정식 \(x^2 – 4(k + 1)x + 16k = 0\) 을 인수분해합니다.
곱해서 \(16k\)가 되고, 더해서 \(-4(k+1) = -4k – 4\)가 되는 두 수를 찾습니다. \(-4k\)와 \(-4\)를 이용하면 다음과 같이 인수분해됩니다.
$$ (x – 4k)(x – 4) = 0 $$
따라서 두 번째 방정식의 두 근 \(\beta, \gamma\)는 \(x = 4k\) 와 \(x = 4\) 입니다.
\(\{ \beta, \gamma \} = \{ 4k, 4 \}\)
(여기서 두 근이 서로 다르므로 \(4k \neq 4\), 즉 \(k \neq 1\) 입니다.)
Step 3: \(\alpha, \beta, \gamma\) 결정
Step 1과 Step 2의 결과에서 두 방정식의 공통근은 \(4\)입니다. 문제에서 공통근은 \(\beta\)라고 했으므로, \(\mathbf{\beta = 4}\) 입니다.
첫 번째 방정식의 근이 \(\{ -\frac{1}{k}, 4 \}\) 이고 \(\beta = 4\)이므로, 다른 근은 \(\mathbf{\alpha = -\frac{1}{k}}\) 입니다.
두 번째 방정식의 근이 \(\{ 4k, 4 \}\) 이고 \(\beta = 4\)이므로, 다른 근은 \(\mathbf{\gamma = 4k}\) 입니다.
Step 4: 관계식 적용 및 \(k\) 값 구하기
주어진 관계식 \(\beta – \alpha = \gamma – \beta\) 에 \(\alpha = -\frac{1}{k}\), \(\beta = 4\), \(\gamma = 4k\) 를 대입합니다.
$$ 4 – \left(-\frac{1}{k}\right) = 4k – 4 $$
$$ 4 + \frac{1}{k} = 4k – 4 $$
양변에 \(k\)를 곱합니다. (단, \(k \neq 0\))
$$ 4k + 1 = 4k^2 – 4k $$
모든 항을 우변으로 이항하여 정리하면 \(k\)에 대한 이차방정식을 얻습니다.
$$ 4k^2 – 8k – 1 = 0 $$
근의 공식을 이용하여 \(k\)를 구합니다. (\(a=4, b=-8, c=-1\))
$$ k = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 – 4(4)(-1)}}{2(4)} $$
$$ = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{8} $$
\(\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}\) 이므로,
$$ k = \frac{8 \pm 4\sqrt{5}}{8} = \frac{4(2 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2} $$
따라서 \(k = \frac{2 + \sqrt{5}}{2}\) 또는 \(k = \frac{2 – \sqrt{5}}{2}\) 입니다.
Step 5: 조건 확인
구한 \(k\) 값들이 문제의 조건들을 만족하는지 확인합니다.
- \(k \neq 0\): 두 값 모두 0이 아닙니다.
- \(k \neq -\frac{1}{4}\): \( \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2} \) 는 \(-\frac{1}{4}\) 과 다릅니다.
- \(k \neq 1\): \( \frac{2 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{2+2.23}{2} > 1 \), \( \frac{2 – \sqrt{5}}{2} \approx \frac{2-2.23}{2} < 0 \). 두 값 모두 1이 아닙니다.
- \(\alpha \neq \gamma\): 즉 \(-\frac{1}{k} \neq 4k\), 이는 \(-1 \neq 4k^2\) 또는 \(4k^2+1 \neq 0\)을 의미합니다. 실수 \(k\)에 대해 \(4k^2+1\)은 항상 0보다 크므로, \(\alpha \neq \gamma\) 조건은 항상 만족됩니다.
따라서 두 \(k\) 값 모두 유효한 해입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 두 이차방정식의 근과 그들 사이의 관계(등차수열)를 이용하여 미지수 \(k\)를 찾는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이차방정식의 근 찾기: 인수분해가 가능한 경우, 인수분해를 통해 근을 찾는 것이 효율적입니다. 이 문제에서는 두 이차방정식 모두 인수분해가 가능했습니다.
- 공통근: 여러 방정식이 주어지고 근에 대한 조건이 있을 때, 공통근을 찾는 것이 문제 해결의 실마리가 될 수 있습니다.
- 등차수열 조건 활용: 세 수 \(a, b, c\)가 등차수열을 이룬다는 조건은 등차중항 관계 \(2b=a+c\) 또는 공차 관계 \(b-a=c-b\)로 표현하여 방정식으로 만들 수 있습니다.
- 근과 계수의 관계 (대안): 이 문제에서는 인수분해가 가능했지만, 일반적으로는 근과 계수의 관계를 이용하여 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\), \(\beta+\gamma\), \(\beta\gamma\)를 \(k\)로 표현하고 연립하여 풀 수도 있습니다.
- 조건 확인의 중요성: 구한 해가 문제에서 주어진 모든 조건(예: 이차방정식 성립 조건 \(k \neq 0\), 서로 다른 근 조건 등)을 만족하는지 반드시 확인해야 합니다.
✅ 최종 정답
상수 \(k\)의 값은 \( \frac{2 + \sqrt{5}}{2} \) 또는 \( \frac{2 – \sqrt{5}}{2} \) 입니다.
따라서 정답은 ④ 입니다.