📘 문제 이해 및 풀이 전략
직사각형 ABCD에서 선분 AB를 한 변으로 하는 정사각형 ABFE를 잘라내고 남은 직사각형 ECDF가 원래 직사각형 ABCD와 닮음이라는 조건이 주어졌습니다. 선분 AB의 길이가 4이고, BC의 길이가 4보다 클 때(\(\overline{BC} > 4\)), 선분 BC의 길이를 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 변의 길이 설정: 구하고자 하는 선분 BC의 길이를 \(x\)로 둡니다 (\(x > 4\)). 정사각형 ABFE를 잘라냈으므로, \(\overline{AB} = \overline{AE} = 4\)입니다. 따라서 남은 직사각형 ECDF의 변 EC의 길이는 \(\overline{EC} = \overline{BC} – \overline{BE} = \overline{BC} – \overline{AE} = x – 4\) 입니다. 또한 \(\overline{CD} = \overline{AB} = 4\) 입니다.
- 닮음 조건 이용: 두 직사각형 ABCD와 ECDF가 닮음이므로, 대응하는 변의 길이의 비가 같습니다. 즉, (ABCD의 짧은 변) : (ABCD의 긴 변) = (ECDF의 짧은 변) : (ECDF의 긴 변)의 관계가 성립합니다.
- 비례식 세우기:
- 직사각형 ABCD의 변은 4와 \(x\) (\(x > 4\)) 이므로, 짧은 변은 4, 긴 변은 \(x\)입니다. 비율: \(\frac{4}{x}\).
- 직사각형 ECDF의 변은 \(x-4\)와 4입니다. ABCD에서 긴 변(\(x\))에 대응하는 ECDF의 변은 CD=4이고, 짧은 변(4)에 대응하는 ECDF의 변은 EC=\(x-4\)입니다. 따라서 ECDF의 짧은 변은 \(x-4\), 긴 변은 4입니다. 비율: \(\frac{x-4}{4}\).
- 방정식 풀기: 세운 비례식을 이차방정식으로 변환하여 풉니다.
- 조건에 맞는 해 선택: 구한 해 중에서 문제의 조건 \(x > 4\)를 만족하는 것을 선택합니다.
관련 개념:
- 닮은 도형: 모양은 같고 크기가 다른 도형. 대응하는 변의 길이의 비가 일정합니다.
- 직사각형의 닮음: 두 직사각형이 닮음이면 가로와 세로의 길이의 비가 같습니다. 즉, \(\frac{\text{짧은 변}}{\text{긴 변}}\)의 비율이 같습니다.
- 이차방정식의 근의 공식: \(ax^2+bx+c=0\)의 근은 \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 변의 길이 설정 및 닮음비 설정
선분 BC의 길이를 \(x\)라 둡니다. 문제 조건에서 \(\overline{AB} = 4\)이고 \(x > 4\)입니다.
정사각형 ABFE를 잘라내면 \(\overline{AE} = \overline{AB} = 4\)입니다.
남은 직사각형 ECDF의 변의 길이는 다음과 같습니다.
- \(\overline{EC} = \overline{BC} – \overline{BE} = \overline{BC} – \overline{AE} = x – 4\)
- \(\overline{CD} = \overline{AB} = 4\)
두 직사각형 ABCD와 ECDF는 닮음입니다. 각 직사각형에서 (짧은 변) / (긴 변)의 비율을 구합니다.
- 직사각형 ABCD: 짧은 변 = 4, 긴 변 = \(x\). 비율 = \(\frac{4}{x}\)
- 직사각형 ECDF: 짧은 변 = \(x-4\), 긴 변 = 4. 비율 = \(\frac{x-4}{4}\)
두 비율이 같으므로 다음 비례식을 세울 수 있습니다.
$$ \frac{4}{x} = \frac{x-4}{4} $$
(해설 이미지의 비례식 \(4:x = (x-4):4\) 와 동일한 의미입니다.)
Step 2: 이차방정식 풀기
비례식 \(\frac{4}{x} = \frac{x-4}{4}\)의 양변에 \(4x\)를 곱하거나, 외항의 곱과 내항의 곱이 같다는 성질을 이용합니다.
$$ 4 \times 4 = x(x-4) $$
$$ 16 = x^2 – 4x $$
이차방정식 형태로 정리합니다.
$$ x^2 – 4x – 16 = 0 $$
근의 공식을 이용하여 \(x\)를 구합니다. (\(a=1, b=-4, c=-16\))
$$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(-16)}}{2(1)} $$
$$ = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 64}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2} $$
\(\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}\) 이므로,
$$ x = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5} $$
따라서 가능한 \(x\) 값은 \(2 + 2\sqrt{5}\) 또는 \(2 – 2\sqrt{5}\) 입니다.
Step 3: 조건에 맞는 해 선택
문제 조건에서 \(\overline{BC} = x > 4\) 입니다. Step 2에서 구한 두 해 중 이 조건을 만족하는 것을 찾습니다.
- \(x = 2 + 2\sqrt{5}\): \(\sqrt{5}\)는 약 2.23이므로, \(2\sqrt{5}\)는 약 4.47입니다. 따라서 \(2 + 2\sqrt{5}\)는 약 6.47로, 4보다 큽니다. (\(x > 4\) 만족)
- \(x = 2 – 2\sqrt{5}\): 위와 같이 \(2\sqrt{5}\)는 4보다 크므로, \(2 – 2\sqrt{5}\)는 음수입니다. 길이는 양수여야 하므로 이 해는 적합하지 않습니다. (\(x > 4\) 불만족)
따라서 조건을 만족하는 선분 BC의 길이는 \(x = 2 + 2\sqrt{5}\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 기하학적 도형(직사각형)의 닮음 조건을 이용하여 변의 길이를 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 도형의 닮음: 닮은 도형은 모양이 같고 크기가 다르며, 대응하는 변의 길이의 비가 일정합니다. 직사각형의 경우, 가로와 세로의 비율(또는 짧은 변과 긴 변의 비율)이 같다는 조건을 이용합니다.
- 비례식 설정: 닮음 조건을 수학적인 식으로 표현하기 위해 비례식을 세웁니다. 대응하는 변의 순서를 정확히 맞추는 것이 중요합니다. (\(a:b = c:d\) 또는 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\))
- 이차방정식 풀이: 비례식을 정리하면 이차방정식이 되는 경우가 많습니다. 근의 공식을 이용하여 해를 구합니다.
- 문제 조건 확인: 방정식의 해가 여러 개 나올 경우, 문제에서 주어진 조건(예: 길이의 범위, 양수 조건 등)을 만족하는 해만 선택해야 합니다.
이 문제는 특히 황금비(golden ratio)와 관련된 구조를 가집니다. 큰 직사각형에서 정사각형을 떼어냈을 때 남은 작은 직사각형이 원래 직사각형과 닮음이 되는 비율이 황금비와 관련이 있습니다.
✅ 최종 정답
선분 BC의 길이는 \(2 + 2\sqrt{5}\) 입니다.
따라서 정답은 ④ 입니다.