📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 이차방정식 \(x^2 + (2k – 1)x + 324 = 0\)의 두 근의 절댓값의 비가 4:1이 되도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값의 곱을 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 근과 계수의 관계 이용: 이차방정식의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 하고 근과 계수의 관계를 이용하여 \(\alpha + \beta\)와 \(\alpha \beta\)를 \(k\)로 표현합니다.
- 근의 부호 판별: 두 근의 곱 \(\alpha \beta\)의 부호를 확인하여 두 근의 부호 관계를 파악합니다. (\(\alpha \beta = 324 > 0\)이므로 두 근의 부호는 같습니다.)
- 근 설정: 두 근의 부호가 같고 절댓값의 비가 4:1이므로, 두 근을 \(r, 4r\) (또는 \(-r, -4r\), 즉まとめて \(\alpha, 4\alpha\) where \(\alpha \ne 0\)) 로 설정할 수 있습니다. (해설에서는 \(\alpha, 4\alpha\)로 설정)
- 방정식 세우기: 설정된 두 근(\(\alpha, 4\alpha\))을 이용하여 근과 계수의 관계를 다시 적용하여 \(\alpha\)와 \(k\)에 대한 연립 방정식을 세웁니다.
- \(\alpha\)와 \(k\) 값 구하기: 연립 방정식을 풀어 가능한 \(\alpha\) 값을 모두 구하고, 각 \(\alpha\) 값에 해당하는 \(k\) 값을 구합니다.
- 최종 곱 계산: 구한 모든 \(k\) 값들의 곱을 계산합니다.
이차방정식 근과 계수의 관계:
이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\) (단, \(a \neq 0\))의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라고 할 때,
- 두 근의 합: \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
- 두 근의 곱: \(\alpha \beta = \frac{c}{a}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 근과 계수의 관계 및 근의 부호 확인
주어진 이차방정식은 \(x^2 + (2k – 1)x + 324 = 0\) 입니다.
두 근을 \(\alpha, \beta\)라고 하면, 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
$$ \alpha + \beta = -(2k – 1) = 1 – 2k $$
$$ \alpha \beta = 324 $$
두 근의 곱 \(\alpha \beta = 324\)는 양수입니다. 따라서 두 근 \(\alpha, \beta\)는 모두 양수이거나 모두 음수입니다. 즉, 두 근의 부호가 같습니다.
Step 2: 두 근 설정
두 근의 절댓값의 비가 4:1이고, 두 근의 부호가 같으므로, 두 근의 비도 4:1 (또는 1:4) 입니다.
따라서 두 근을 \(\alpha\) 와 \(4\alpha\) 로 설정할 수 있습니다. (단, \(\alpha \neq 0\))
(만약 두 근이 \(-\alpha, -4\alpha\) (\(\alpha>0\)) 이더라도 계산 결과는 동일하게 나옵니다. 해설 이미지처럼 \(\alpha\) 자체를 양수 또는 음수로 생각하면 됩니다.)
Step 3: 근과 계수의 관계 재적용 및 연립방정식 세우기
두 근을 \(\alpha, 4\alpha\)로 놓고 근과 계수의 관계를 다시 적용합니다.
두 근의 합:
$$ \alpha + 4\alpha = 1 – 2k $$
$$ 5\alpha = 1 – 2k \quad \cdots ① $$
두 근의 곱:
$$ \alpha \cdot (4\alpha) = 324 $$
$$ 4\alpha^2 = 324 \quad \cdots ② $$
Step 4: \(\alpha\) 값 구하기
식 ②를 풀어 \(\alpha\) 값을 구합니다.
$$ 4\alpha^2 = 324 $$
$$ \alpha^2 = \frac{324}{4} = 81 $$
$$ \alpha = \pm \sqrt{81} = \pm 9 $$
따라서 \(\alpha = 9\) 또는 \(\alpha = -9\) 입니다.
Step 5: \(k\) 값 구하기
식 ① (\(5\alpha = 1 – 2k\))을 이용하여 각 \(\alpha\) 값에 해당하는 \(k\) 값을 구합니다.
식 ①을 \(k\)에 대해 정리하면 \(2k = 1 – 5\alpha \implies k = \frac{1 – 5\alpha}{2}\).
- 경우 (i): \(\alpha = 9\) 일 때
$$ k = \frac{1 – 5(9)}{2} = \frac{1 – 45}{2} = \frac{-44}{2} = -22 $$
- 경우 (ii): \(\alpha = -9\) 일 때
$$ k = \frac{1 – 5(-9)}{2} = \frac{1 + 45}{2} = \frac{46}{2} = 23 $$
따라서 가능한 실수 \(k\)의 값은 \(-22\)와 \(23\)입니다.
(해설 이미지에서는 경우 (i)를 \(\alpha=-9\)일 때로, 경우 (ii)를 \(\alpha=9\)일 때로 설정하여 순서가 다르지만 결과는 동일합니다.)
Step 6: 모든 \(k\) 값의 곱 계산
문제에서 요구하는 것은 모든 실수 \(k\)의 값의 곱입니다.
$$ (\text{모든 } k \text{ 값의 곱}) = (-22) \times 23 $$
계산하면:
$$ = -(22 \times 23) = -(22 \times (20 + 3)) = -(440 + 66) = -506 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 근의 특성(절댓값의 비)과 결합하여 푸는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 근과 계수의 관계: 이차방정식의 계수로부터 두 근의 합과 곱을 알아내는 것은 기본입니다.
- 근의 부호 판단: 두 근의 곱의 부호는 두 근의 부호 관계(같은 부호 또는 다른 부호)를 알려줍니다. 곱이 양수이면 두 근의 부호는 같습니다.
- 비율 조건 활용: 근의 절댓값 또는 근 자체의 비율이 주어졌을 때, 이를 이용하여 두 근을 하나의 미지수(예: \(\alpha\))로 표현할 수 있습니다(예: \(\alpha, 4\alpha\)).
- 연립방정식 풀이: 근과 계수의 관계를 이용하여 세운 연립방정식을 풀어 미지수 값을 구합니다.
특히, 두 근의 곱이 양수라는 정보로부터 두 근의 부호가 같다는 것을 파악하고, 이를 통해 절댓값의 비를 근 자체의 비로 바로 연결하는 과정이 중요합니다.
✅ 최종 정답
모든 실수 \(k\)의 값의 곱은 \(-506\) 입니다.
\(-506\)