📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 개의 이차방정식이 주어져 있고, 두 번째 방정식의 근이 첫 번째 방정식의 근 \(\alpha, \beta\)를 이용하여 복잡하게 표현되어 있습니다.
- 방정식 1: \(x^2 – x + p = 0\), 두 근은 \(\alpha, \beta\).
- 방정식 2: \(x^2 – qx – 4 = 0\), 두 근은 \(\alpha + \frac{1}{\beta}\) 와 \(\beta + \frac{1}{\alpha}\).
목표는 상수 \(p, q\)에 대하여 \(p + q\)의 값을 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 각 방정식에 근과 계수의 관계 적용:
- 방정식 1에서 \(\alpha + \beta\)와 \(\alpha \beta\)를 \(p\)로 표현합니다.
- 방정식 2에서 두 근의 합 \((\alpha + \frac{1}{\beta}) + (\beta + \frac{1}{\alpha})\)과 두 근의 곱 \((\alpha + \frac{1}{\beta})(\beta + \frac{1}{\alpha})\)을 \(q\)로 표현합니다.
- 관계식 정리 및 연결: 방정식 2의 근의 합과 곱을 \(\alpha + \beta\)와 \(\alpha \beta\)를 이용하여 간단히 정리합니다. 그 후, 방정식 1에서 얻은 값(\(\alpha+\beta=1, \alpha\beta=p\))을 대입하여 \(p\)와 \(q\)에 대한 두 개의 방정식을 얻습니다.
- \(p+q\) 값 계산: 얻어진 \(p, q\)에 대한 관계식을 연립하여 \(p+q\)의 값을 구합니다. (반드시 \(p\)와 \(q\)를 각각 구할 필요는 없을 수 있습니다.)
이차방정식 근과 계수의 관계:
이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\) (단, \(a \neq 0\))의 두 근을 \(r_1, r_2\)라고 할 때,
- 두 근의 합: \(r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}\)
- 두 근의 곱: \(r_1 r_2 = \frac{c}{a}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 방정식에 근과 계수의 관계 적용
방정식 \(x^2 – x + p = 0\)의 두 근이 \(\alpha, \beta\)이므로, 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
$$ \alpha + \beta = – \frac{-1}{1} = 1 \quad \cdots ① $$
$$ \alpha \beta = \frac{p}{1} = p \quad \cdots ② $$
Step 2: 두 번째 방정식에 근과 계수의 관계 적용 및 정리 (합)
방정식 \(x^2 – qx – 4 = 0\)의 두 근이 \(\alpha + \frac{1}{\beta}\) 와 \(\beta + \frac{1}{\alpha}\)이므로, 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
두 근의 합:
$$ \left(\alpha + \frac{1}{\beta}\right) + \left(\beta + \frac{1}{\alpha}\right) = – \frac{-q}{1} = q $$
좌변을 \(\alpha + \beta\)와 \(\alpha \beta\)로 정리합니다.
$$ (\alpha + \beta) + \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = q $$
$$ (\alpha + \beta) + \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = q $$
Step 1의 결과(식 ①, ②)를 대입합니다.
$$ 1 + \frac{1}{p} = q \quad \cdots ③ $$
Step 3: 두 번째 방정식에 근과 계수의 관계 적용 및 정리 (곱)
두 근의 곱:
$$ \left(\alpha + \frac{1}{\beta}\right) \left(\beta + \frac{1}{\alpha}\right) = \frac{-4}{1} = -4 $$
좌변을 전개합니다.
$$ \alpha\beta + \alpha\left(\frac{1}{\alpha}\right) + \frac{1}{\beta}\beta + \frac{1}{\beta}\left(\frac{1}{\alpha}\right) = -4 $$
$$ \alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta} = -4 $$
$$ \alpha\beta + \frac{1}{\alpha\beta} + 2 = -4 $$
Step 1의 결과(식 ②)를 대입합니다.
$$ p + \frac{1}{p} + 2 = -4 $$
$$ p + \frac{1}{p} = -6 \quad \cdots ④ $$
Step 4: \(p+q\) 값 계산
식 ③(\(1 + \frac{1}{p} = q\))과 식 ④(\(p + \frac{1}{p} = -6\))를 이용하여 \(p+q\)를 구합니다.
식 ③에서 \(\frac{1}{p} = q – 1\) 입니다.
이것을 식 ④에 대입합니다.
$$ p + (q – 1) = -6 $$
정리하면,
$$ p + q – 1 = -6 $$
$$ p + q = -6 + 1 = -5 $$
(해설 이미지에서는 식 ③과 식 ④를 각각 변형한 후 더하는 방식으로 \(p+q\)를 구했습니다. \(③ \implies \frac{1}{p} = q – 1\), \(④ \implies p + \frac{1}{p} = -6\). 두 식을 연립하면 \(p+(q-1)=-6\) 이 되어 \(p+q=-5\) 를 얻는 것은 동일합니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 두 이차방정식의 근들 사이에 복잡한 관계가 있을 때, 각 방정식에 근과 계수의 관계를 적용하여 미지 계수들의 관계를 파악하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 근과 계수의 관계 (Vieta’s formulas): 두 방정식 각각에 대해 근과 계수의 관계를 정확히 적용하는 것이 기본입니다.
- 식의 변형 및 정리: 두 번째 방정식의 근의 합과 곱을 계산할 때, 이를 첫 번째 방정식의 근의 합(\(\alpha+\beta\))과 곱(\(\alpha\beta\))으로 표현할 수 있도록 식을 능숙하게 변형하고 정리하는 능력이 필요합니다. 특히 \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) 와 \(\left(\alpha + \frac{1}{\beta}\right) \left(\beta + \frac{1}{\alpha}\right) = \alpha\beta + 2 + \frac{1}{\alpha\beta}\) 와 같은 계산을 정확히 해야 합니다.
- 연립방정식 풀이: 근과 계수의 관계로부터 얻어진 여러 식들을 연립하여 원하는 값(이 문제에서는 \(p+q\))을 구합니다. 때로는 각 미지수를 구하지 않고도 목표값을 바로 구할 수 있습니다.
각 단계에서 근과 계수의 관계를 정확히 적용하고, 복잡한 식을 실수 없이 정리하여 연립하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(p + q = -5\)
\(-5\)