📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 방정식은 \(x\)에 대한 방정식 \(|x^2 – (2a + 1)x + 3a + 1| = 2\) 입니다. 이 방정식의 한 근이 \(a\)가 되도록 하는 모든 양수 \(a\)의 값의 합을 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 근의 조건 대입: 방정식의 한 근이 \(a\)라는 조건을 이용하기 위해, 주어진 방정식에 \(x = a\)를 대입합니다.
- 식 정리: \(x = a\)를 대입한 후, 절댓값 안의 식을 \(a\)에 대한 식으로 간단히 정리합니다.
- 절댓값 방정식 풀이: 정리된 \(|P(a)| = 2\) 형태의 방정식을 \(P(a) = 2\) 또는 \(P(a) = -2\) 의 두 가지 경우로 나누어 풉니다.
- \(a\) 값 구하기: 각각의 경우에 대해 \(a\)에 대한 방정식을 풀어서 \(a\) 값을 구합니다. (이차방정식이 될 것입니다.)
- 양수 조건 확인 및 합 계산: 구한 \(a\) 값들 중에서 양수인 것들만 골라 그 합을 계산합니다.
절댓값의 정의:
어떤 식 \(A\)와 양수 \(k\)에 대하여, \(|A| = k\) 이면 \(A = k\) 또는 \(A = -k\) 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 방정식에 \(x = a\) 대입
주어진 방정식 \(|x^2 – (2a + 1)x + 3a + 1| = 2\)에 한 근인 \(x = a\)를 대입합니다.
$$ |a^2 – (2a + 1)a + 3a + 1| = 2 $$
Step 2: 절댓값 안의 식 정리
절댓값 기호 안의 식을 \(a\)에 대해 정리합니다.
$$ a^2 – (2a^2 + a) + 3a + 1 $$
$$ = a^2 – 2a^2 – a + 3a + 1 $$
$$ = -a^2 + 2a + 1 $$
따라서 대입한 방정식은 다음과 같이 됩니다.
$$ |-a^2 + 2a + 1| = 2 $$
\(|-A| = |A|\) 이므로, 이 식은 다음과 같습니다.
$$ |a^2 – 2a – 1| = 2 $$
(풀이 이미지에서는 이 형태로 바로 정리되어 있습니다.)
Step 3: 절댓값 방정식을 두 개의 방정식으로 분리
절댓값의 정의에 따라 \(|a^2 – 2a – 1| = 2\)는 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다.
경우 1: \(a^2 – 2a – 1 = 2\)
경우 2: \(a^2 – 2a – 1 = -2\)
Step 4: 경우 1의 해 구하기
경우 1의 방정식 \(a^2 – 2a – 1 = 2\)를 풉니다.
$$ a^2 – 2a – 3 = 0 $$
이 이차방정식을 인수분해합니다.
$$ (a – 3)(a + 1) = 0 $$
따라서 \(a = 3\) 또는 \(a = -1\) 입니다.
Step 5: 경우 2의 해 구하기
경우 2의 방정식 \(a^2 – 2a – 1 = -2\)를 풉니다.
$$ a^2 – 2a + 1 = 0 $$
이 이차방정식은 완전제곱식입니다.
$$ (a – 1)^2 = 0 $$
따라서 \(a = 1\) (중근) 입니다.
Step 6: 모든 양수 \(a\) 값의 합 구하기
Step 4와 Step 5에서 구한 모든 \(a\) 값은 \(-1, 1, 3\) 입니다.
문제에서는 양수 \(a\)의 값의 합을 구하라고 했으므로, 이 중에서 양수인 \(a\) 값은 \(1\)과 \(3\) 입니다.
따라서 구하는 모든 양수 \(a\)의 값의 합은
$$ 1 + 3 = 4 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 방정식의 근의 의미와 절댓값을 포함한 방정식의 풀이법을 결합한 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 방정식의 근: 방정식에 대입했을 때 등식이 성립하게 하는 값입니다. 문제에서 “한 근이 \(a\)이다”라는 조건은 \(x\) 대신 \(a\)를 대입해도 방정식이 성립함을 의미합니다.
- 절댓값 방정식 \(|A|=k\) (단, \(k>0\))의 풀이: \(A = k\) 또는 \(A = -k\) 로 나누어 푸는 것이 기본입니다.
- 이차방정식의 풀이: 인수분해 또는 근의 공식을 이용하여 해를 구합니다. 이 문제에서는 인수분해가 가능한 형태였습니다.
- 문제 조건 확인: 문제에서 요구하는 최종 답의 조건(예: “양수”, “정수”, “합”, “곱” 등)을 정확히 확인하고 답을 구해야 합니다. 이 문제에서는 “양수 \(a\)의 값의 합”을 요구했으므로, 구한 모든 \(a\) 값 중 양수만 골라 더해야 합니다.
문제의 조건을 정확히 이해하고, 절댓값 처리와 이차방정식 풀이 단계를 차례대로 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
모든 양수 \(a\)의 값의 합은 \(4\) 입니다.
\(4\)