📘 문제 이해 및 풀이 전략
이차방정식 \(x^2 – 5x + 1 = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라고 할 때, \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\)의 값을 구하는 문제입니다.
직접 근을 구하기보다는 근과 계수의 관계를 이용하여 \(\alpha + \beta\)와 \(\alpha\beta\)의 값을 먼저 구하고, 이를 활용하여 \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\)의 값을 찾는 전략을 사용합니다.
- 근과 계수의 관계 이용: 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\), \(\alpha \beta = \frac{c}{a}\) 임을 이용하여 \(\alpha + \beta\)와 \(\alpha \beta\) 값을 구합니다.
- 근의 부호 판별: \(\alpha + \beta\) 와 \(\alpha \beta\)의 부호를 이용하여 두 근 \(\alpha, \beta\)가 모두 양수임을 확인합니다. 이는 \(\sqrt{\alpha}, \sqrt{\beta}\)가 실수임을 보장합니다.
- 제곱을 이용한 값 계산: 직접 \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\)를 구하기 어려우므로, \(\left(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\right)^2\)의 값을 먼저 계산합니다. 곱셈 공식을 이용하면 \((\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2 = \alpha + \beta + 2\sqrt{\alpha\beta}\) 입니다.
- 최종 값 구하기: 계산된 \((\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2\) 값의 양의 제곱근을 구하여 \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\)의 값을 얻습니다. (\(\alpha>0, \beta>0\)이므로 \(\sqrt{\alpha}>0, \sqrt{\beta}>0\)이고, 따라서 \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} > 0\)입니다.)
관련 공식:
- 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 근과 계수의 관계:
- 두 근의 합: \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
- 두 근의 곱: \(\alpha \beta = \frac{c}{a}\)
- 곱셈 공식: \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)
- 제곱근의 성질: \(\sqrt{A}\sqrt{B} = \sqrt{AB}\) (단, \(A \ge 0, B \ge 0\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 근과 계수의 관계 적용 및 근의 부호 확인
주어진 이차방정식은 \(x^2 – 5x + 1 = 0\) 입니다. 여기에서 \(a=1, b=-5, c=1\) 입니다.
근과 계수의 관계에 의해 두 근 \(\alpha, \beta\)의 합과 곱은 다음과 같습니다.
$$ \alpha + \beta = -\frac{-5}{1} = 5 $$
$$ \alpha \beta = \frac{1}{1} = 1 $$
두 근의 합(\(\alpha + \beta = 5\))과 곱(\(\alpha \beta = 1\))이 모두 양수이므로, 두 근 \(\alpha\)와 \(\beta\)는 모두 양수입니다 (\(\alpha > 0, \beta > 0\)).
따라서 \(\sqrt{\alpha}\)와 \(\sqrt{\beta}\)는 모두 양의 실수입니다.
Step 2: \(\left(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\right)^2\) 계산
우리가 구하려는 값 \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\)를 직접 구하기 어려우므로, 이 식의 제곱 값을 계산합니다.
$$ \left(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\right)^2 = (\sqrt{\alpha})^2 + 2 \sqrt{\alpha} \sqrt{\beta} + (\sqrt{\beta})^2 $$
\(\alpha > 0, \beta > 0\) 이므로 \(\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta} = \sqrt{\alpha\beta}\) 입니다.
$$ = \alpha + 2 \sqrt{\alpha\beta} + \beta $$
$$ = (\alpha + \beta) + 2 \sqrt{\alpha\beta} $$
Step 1에서 구한 \(\alpha + \beta = 5\) 와 \(\alpha \beta = 1\) 을 대입합니다.
$$ = 5 + 2 \sqrt{1} $$
$$ = 5 + 2(1) = 7 $$
따라서 \(\left(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\right)^2 = 7\) 입니다.
Step 3: \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\) 값 구하기
Step 2에서 \(\left(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\right)^2 = 7\) 임을 계산했습니다.
Step 1에서 \(\alpha > 0, \beta > 0\) 이므로 \(\sqrt{\alpha} > 0, \sqrt{\beta} > 0\) 이고, 따라서 \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\) 는 양수입니다.
제곱해서 7이 되는 양수는 \(\sqrt{7}\) 입니다.
그러므로,
$$ \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = \sqrt{7} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구하는 대표적인 유형입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 근과 계수의 관계: 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근 \(\alpha, \beta\)에 대해 \(\alpha+\beta = -b/a\), \(\alpha\beta = c/a\)가 성립합니다. 이 관계는 근을 직접 구하지 않고도 근들의 합과 곱을 알 수 있게 해줍니다.
- 곱셈 공식의 활용: \((A+B)^2 = A^2+2AB+B^2\)와 같은 곱셈 공식을 이용하여 구하고자 하는 식(\(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\))을 직접 구하는 대신 그 제곱 값(\((\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2\))을 먼저 구하는 테크닉이 유용합니다.
- 근의 부호 판단: 합(\(\alpha+\beta\))과 곱(\(\alpha\beta\))의 부호를 통해 각 근(\(\alpha, \beta\))의 부호를 판단할 수 있습니다. 합>0, 곱>0 이면 두 근 모두 양수입니다. 이는 제곱근(\(\sqrt{\alpha}, \sqrt{\beta}\))의 실수 조건과 최종 값의 부호를 결정하는 데 중요합니다.
근과 계수의 관계를 이용하여 \(\alpha+\beta\)와 \(\alpha\beta\)를 구하고, 이를 곱셈 공식과 결합하여 원하는 식의 값을 유도하는 과정을 정확히 이해하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = \sqrt{7}\)
따라서 정답은 ③ 입니다.