📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 여러 다항식의 인수분해 결과 중 옳은 것을 찾는 문제입니다. 각 보기의 좌변을 직접 인수분해하여 우변과 일치하는지 확인하는 전략을 사용합니다.
- 인수분해 공식을 정확히 알고 적용합니다 (합차 공식, 완전제곱식, 곱셈공식 변형 등).
- 공통 인수를 묶어내는 기본적인 인수분해 방법을 우선적으로 고려합니다.
- 이차식의 인수분해, 복잡한 식의 인수분해 (치환, 그룹화 등) 방법을 사용합니다.
- 각 보기를 차례대로 검토하여 인수분해가 올바르게 되었는지 판단합니다.
주요 인수분해 공식:
- 합차 공식: \(a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)\)
- 세제곱의 합: \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)
- 세제곱의 차: \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
- 완전제곱식: \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 검토
좌변: \(16x^2 – 36y^2\)
먼저 공통 인수 4를 묶어냅니다.
$$ 16x^2 – 36y^2 = 4(4x^2 – 9y^2) $$
괄호 안의 식 \(4x^2 – 9y^2 = (2x)^2 – (3y)^2\) 은 합차 공식으로 인수분해됩니다.
$$ 4x^2 – 9y^2 = (2x+3y)(2x-3y) $$
따라서 전체 인수분해 결과는 다음과 같습니다.
$$ 16x^2 – 36y^2 = 4(2x+3y)(2x-3y) $$
보기 ①의 우변은 \(2(2x+3y)(2x-3y)\) 입니다.
좌변의 인수분해 결과와 우변이 다르므로 (계수 4와 2), 보기 ①은 옳지 않습니다.
Step 2: 보기 ② 검토
좌변: \(x^4 – 16\)
합차 공식을 적용합니다. \(x^4 = (x^2)^2\), \(16 = 4^2\).
$$ x^4 – 16 = (x^2)^2 – 4^2 = (x^2+4)(x^2-4) $$
여기서 \(x^2-4 = x^2 – 2^2\)는 다시 합차 공식으로 인수분해됩니다.
$$ x^2 – 4 = (x+2)(x-2) $$
따라서 \(x^4 – 16\)의 완전한 인수분해 결과는 다음과 같습니다.
$$ x^4 – 16 = (x^2+4)(x+2)(x-2) $$
보기 ②의 우변은 \((x^2+4)(x^2-4)\) 입니다.
이는 인수분해가 완전히 끝나지 않은 형태입니다. 문제에서 “옳게 된 것”은 일반적으로 더 이상 인수분해되지 않는 형태까지 완료된 것을 의미하므로, 보기 ②는 옳지 않습니다 (또는 불완전합니다).
Step 3: 보기 ③ 검토
좌변: \(2x^2 – 5x – 3\)
이차항의 계수가 1이 아닌 이차식 인수분해를 시도합니다. 곱해서 \(2 \times (-3) = -6\)이 되고 더해서 \(-5\)가 되는 두 수는 -6과 1입니다.
$$ 2x^2 – 5x – 3 = 2x^2 – 6x + x – 3 $$
그룹으로 묶어 인수분해합니다.
$$ = 2x(x-3) + 1(x-3) $$
$$ = (2x+1)(x-3) $$
보기 ③의 우변은 \((x-1)(2x+3)\) 입니다.
좌변의 인수분해 결과와 우변이 다르므로, 보기 ③은 옳지 않습니다.
Step 4: 보기 ④ 검토
좌변: \(x^3 + 8\)
세제곱의 합 공식 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)을 적용합니다. 여기서 \(a=x, b=2\) (\(8=2^3\)) 입니다.
$$ x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 – x \cdot 2 + 2^2) $$
$$ = (x+2)(x^2 – 2x + 4) $$
보기 ④의 우변은 \((x+2)(x^2 + 2x + 4)\) 입니다.
가운데 항의 부호가 다르므로(\(-2x\) vs \(+2x\)), 보기 ④는 옳지 않습니다.
Step 5: 보기 ⑤ 검토
좌변: \(x^2 – y^2 + 2yz – z^2\)
뒤의 세 항을 묶어 완전제곱식 형태로 만듭니다.
$$ x^2 – (y^2 – 2yz + z^2) $$
괄호 안은 \((y-z)^2\) 입니다.
$$ = x^2 – (y-z)^2 $$
이제 합차 공식 \(a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)\)을 적용합니다. 여기서 \(a=x, b=(y-z)\) 입니다.
$$ = (x + (y-z))(x – (y-z)) $$
괄호를 풀어 정리합니다.
$$ = (x+y-z)(x-y+z) $$
보기 ⑤의 우변은 \((x+y-z)(x-y+z)\) 입니다.
좌변의 인수분해 결과와 우변이 일치하므로, 보기 ⑤는 옳습니다.
🧠 마무리 개념 정리
다항식의 인수분해는 다양한 공식을 정확하게 적용하는 것이 중요합니다. 이 문제에서는 다음 공식들이 활용되었습니다.
- 공통 인수 묶기: 가장 기본적이며 우선적으로 시도해야 합니다 (보기 ①).
- 합차 공식 (\(a^2-b^2\)): 제곱의 차 형태로 나타나는 경우 적용합니다 (보기 ①, ②, ⑤).
- 이차식 인수분해: \(ax^2+bx+c\) 형태의 인수분해 방법을 사용합니다 (보기 ③).
- 세제곱의 합/차 공식: \(a^3 \pm b^3\) 형태일 때 적용합니다 (보기 ④).
- 완전제곱식 (\((a \pm b)^2\)): 항을 적절히 묶어 완전제곱식을 만든 후 다른 공식을 적용할 수 있는지 확인합니다 (보기 ⑤).
각 보기의 식 형태를 보고 적용할 수 있는 가장 적절한 인수분해 공식을 떠올려 차근차근 적용하는 연습이 필요합니다.
✅ 최종 정답
⑤