📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 4차 다항식 \((x^2-3x-2)(x^2-3x-8)+8\)을 인수분해하여 \((x+1)(x+a)(x^2+bx+c)\) 꼴로 만들고, 이때 정수 \(a, b, c\)의 값을 찾아 그 합 \(a+b+c\)를 구하는 문제입니다.
핵심 전략은 공통 부분이 있는 복잡한 식의 인수분해 방법인 치환을 이용하는 것입니다.
- 공통 부분 찾기 및 치환: 식에서 반복되는 부분(\(x^2-3x\))을 찾아 다른 문자(예: \(t\))로 치환하여 식을 간단하게 만듭니다.
- 치환된 식 전개 및 인수분해: 치환된 문자에 대한 식을 전개하고 정리한 후, 인수분해합니다. (주로 이차식 인수분해)
- 원래 식으로 되돌리기: 인수분해된 식의 치환 문자를 원래의 식(\(x^2-3x\))으로 되돌려 놓습니다.
- 추가 인수분해: 원래 식으로 되돌린 후, 각 인수가 더 인수분해될 수 있는지 확인하고, 가능하다면 인수분해를 완료합니다.
- 계수 비교: 최종 인수분해된 형태를 문제에서 주어진 \((x+1)(x+a)(x^2+bx+c)\) 형태와 비교하여 정수 \(a, b, c\) 값을 결정합니다.
- 합 계산: 찾은 \(a, b, c\) 값을 더하여 \(a+b+c\)를 계산합니다.
이차식 인수분해:
\(t^2 + (p+q)t + pq = (t+p)(t+q)\)
\(x^2 + (m+n)x + mn = (x+m)(x+n)\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 공통 부분 치환
주어진 다항식은 \((x^2-3x-2)(x^2-3x-8)+8\) 입니다.
공통 부분인 \(x^2-3x\)를 \(t\)로 치환합니다. 즉, \(t = x^2-3x\).
치환한 식은 다음과 같습니다.
$$ (t-2)(t-8)+8 $$
Step 2: 치환된 식 전개 및 정리
치환된 \(t\)에 대한 식을 전개합니다.
$$ (t-2)(t-8)+8 = (t^2 – 8t – 2t + 16) + 8 $$
간단히 정리합니다.
$$ = t^2 – 10t + 16 + 8 $$
$$ = t^2 – 10t + 24 $$
Step 3: 치환된 식 인수분해
\(t\)에 대한 이차식 \(t^2 – 10t + 24\)를 인수분해합니다.
곱해서 24가 되고 더해서 -10이 되는 두 수는 -4와 -6입니다.
따라서 다음과 같이 인수분해됩니다.
$$ t^2 – 10t + 24 = (t-4)(t-6) $$
Step 4: 원래 식으로 되돌리기 (Back-substitution)
Step 3에서 얻은 인수분해 결과 \((t-4)(t-6)\)에 원래의 치환 \(t = x^2-3x\)를 다시 대입합니다.
$$ (t-4)(t-6) = (x^2-3x-4)(x^2-3x-6) $$
Step 5: 추가 인수분해 확인 및 실행
이제 두 개의 이차식 인수가 더 인수분해되는지 확인합니다.
첫 번째 인수: \(x^2-3x-4\)
곱해서 -4가 되고 더해서 -3이 되는 두 수는 -4와 1입니다.
$$ x^2-3x-4 = (x-4)(x+1) $$
두 번째 인수: \(x^2-3x-6\)
곱해서 -6이 되고 더해서 -3이 되는 두 정수는 존재하지 않습니다. 따라서 이 이차식은 정수 범위 내에서 더 이상 인수분해되지 않습니다.
그러므로, 주어진 다항식의 최종 인수분해 결과는 다음과 같습니다.
$$ (x+1)(x-4)(x^2-3x-6) $$
Step 6: 계수 비교하여 \(a, b, c\) 값 결정
Step 5에서 얻은 최종 인수분해 결과 \((x+1)(x-4)(x^2-3x-6)\)를 문제에서 주어진 형태 \((x+1)(x+a)(x^2+bx+c)\)와 비교합니다.
- \( (x+1) \) : 공통 인수 확인
- \( (x+a) \) 와 \( (x-4) \) 비교: \(a = -4\)
- \( (x^2+bx+c) \) 와 \( (x^2-3x-6) \) 비교: \(b = -3\), \(c = -6\)
\(a, b, c\)는 모두 정수 조건을 만족합니다.
Step 7: \(a+b+c\) 값 계산
찾은 정수 \(a, b, c\) 값을 더합니다.
$$ a+b+c = (-4) + (-3) + (-6) $$
$$ = -7 – 6 $$
$$ = -13 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 공통 부분이 있는 4차식의 인수분해 문제입니다. 해결의 핵심은 치환을 이용하여 차수를 낮추어 익숙한 형태(이차식)로 만든 후 인수분해하는 것입니다.
- 치환: 복잡한 식에서 반복되는 부분을 찾아 간단한 문자로 치환합니다 (\(t = x^2-3x\)).
- 단계적 인수분해: 치환된 식을 먼저 인수분해하고(\((t-4)(t-6)\)), 다시 원래 문자로 되돌린 후(\((x^2-3x-4)(x^2-3x-6)\)), 각 인수가 더 인수분해될 수 있는지 확인하고 완료합니다(\((x+1)(x-4)(x^2-3x-6)\)).
- 계수 비교: 최종 인수분해 결과와 문제에서 제시된 형태를 비교하여 미지수 계수(\(a, b, c\))를 결정합니다.
치환을 통해 복잡한 문제를 단순화하고, 인수분해를 단계적으로 진행하는 능력이 중요합니다.
✅ 최종 정답
-13