📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 4차식 \((x-1)(x-2)(x-5)(x-6)+k\)가 \(x\)에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되도록 하는 상수 \(k\)의 값을 구하는 문제입니다.
이러한 형태의 식은 공통 부분이 생기도록 두 개씩 짝지어 전개한 후, 공통 부분을 치환하여 인수분해하는 전략이 효과적입니다.
- 적절히 짝짓기: 네 개의 일차식 인수를 두 개씩 짝지어 곱했을 때, \(x^2\)항과 \(x\)항이 같아지도록 짝을 찾습니다. (상수항의 합이 같아지도록 짝을 짓습니다: \(-1 + (-6) = -7\), \(-2 + (-5) = -7\))
- 전개 및 공통 부분 확인: 짝지은 항들을 각각 전개하여 공통 부분을 확인합니다. (\((x-1)(x-6)\)와 \((x-2)(x-5)\))
- 치환: 공통 부분을 다른 문자(예: \(t\))로 치환하여 식을 \(t\)에 대한 이차식으로 변환합니다.
- 완전제곱식 조건 적용: 치환된 \(t\)에 대한 이차식이 완전제곱식이 될 조건을 이용합니다. \(t\)에 대한 식이 완전제곱식이면, 원래의 \(x\)에 대한 식은 \(x\)에 대한 이차식의 완전제곱식이 됩니다.
- \(k\) 값 계산: \(t\)에 대한 이차식이 완전제곱식이 되기 위한 조건을 이용하여 상수항 부분을 비교하고 \(k\) 값을 구합니다.
완전제곱식 조건:
이차식 \(At^2 + Bt + C\)가 완전제곱식이 되려면 판별식 \(D = B^2 – 4AC = 0\) 이어야 합니다.
특히, 최고차항 계수가 1인 이차식 \(t^2 + Bt + C\)가 완전제곱식이 되려면 상수항 \(C\)는 \((\frac{B}{2})^2\) 이어야 합니다. 즉,
$$ C = \left(\frac{B}{2}\right)^2 $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 적절히 짝지어 전개하기
주어진 식은 \((x-1)(x-2)(x-5)(x-6)+k\) 입니다.
상수항의 합이 같아지도록 \((x-1)\)과 \((x-6)\), \((x-2)\)와 \((x-5)\)를 짝지어 곱합니다.
$$ (x-1)(x-6) = x^2 – 6x – x + 6 = x^2 – 7x + 6 $$
$$ (x-2)(x-5) = x^2 – 5x – 2x + 10 = x^2 – 7x + 10 $$
이제 원래 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ (x^2 – 7x + 6)(x^2 – 7x + 10) + k $$
Step 2: 공통 부분 치환하기
공통 부분인 \(x^2-7x\)를 \(t\)로 치환합니다. 즉, \(t = x^2-7x\).
치환한 식은 다음과 같습니다.
$$ (t + 6)(t + 10) + k $$
Step 3: 치환된 식 전개 및 정리하기
치환된 \(t\)에 대한 식을 전개합니다.
$$ (t + 6)(t + 10) + k = t^2 + 10t + 6t + 60 + k $$
간단히 정리합니다.
$$ = t^2 + 16t + (60 + k) $$
Step 4: 완전제곱식 조건 적용하기
원래의 \(x\)에 대한 식이 \(x\)에 대한 이차식의 완전제곱식이 되려면, 치환된 \(t\)에 대한 이차식 \(t^2 + 16t + (60 + k)\)가 완전제곱식이 되어야 합니다.
이차식 \(t^2 + Bt + C\)가 완전제곱식이 될 조건은 \(C = (\frac{B}{2})^2\) 입니다.
여기서 \(B=16\), \(C = 60+k\) 이므로, 다음 조건이 성립해야 합니다.
$$ 60 + k = \left(\frac{16}{2}\right)^2 $$
Step 5: 상수 \(k\) 값 계산하기
Step 4에서 세운 방정식을 풀어 \(k\) 값을 구합니다.
$$ 60 + k = (8)^2 $$
$$ 60 + k = 64 $$
\(k\)에 대해 정리합니다.
$$ k = 64 – 60 $$
$$ k = 4 $$
따라서 상수 \(k\)의 값은 4입니다.
(확인: \(k=4\)이면 치환된 식은 \(t^2+16t+64 = (t+8)^2\)가 되고, 원래 식은 \((x^2-7x+8)^2\)로 이차식의 완전제곱식이 됩니다.)
🧠 마무리 개념 정리
네 개의 일차식의 곱과 상수로 이루어진 형태 \((x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+k\)를 인수분해하거나 특정 조건을 만족시키는 \(k\)를 찾는 문제는 다음과 같은 접근법을 주로 사용합니다.
- 짝짓기: 상수항의 합이 같아지도록 두 쌍으로 묶습니다 (\(a+d = b+c\) 또는 \(a+c = b+d\) 또는 \(a+b = c+d\)). 이 문제에서는 \((-1)+(-6) = (-2)+(-5)\)였습니다.
- 치환: 짝지어 곱한 결과 나타나는 공통 이차식 부분을 \(t\)로 치환하여 식을 \(t\)에 대한 이차식으로 변환합니다.
- 조건 적용: 문제에서 요구하는 조건(예: 완전제곱식)을 치환된 \(t\)에 대한 이차식에 적용합니다.
- 완전제곱식 조건: 이차식 \(t^2+Bt+C\)가 완전제곱식이 되려면 상수항이 \(C = (\frac{B}{2})^2\)를 만족해야 합니다.
적절한 짝짓기를 통해 공통 부분을 찾아 치환하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
✅ 최종 정답
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