📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 4차식 \(x^4 – 18x^2 + 81\)을 인수분해하여 \((x+a)^2(x+b)^2\) 형태가 될 때, 상수 \(a, b\)의 값을 찾아 \(a-b\)를 계산하는 문제입니다. (단, \(a > b\))
주어진 4차식은 \(x\)의 짝수 차수 항만 포함하는 보기차식입니다. 보기차식의 인수분해는 다음과 같은 전략을 사용합니다.
- 치환: \(x^2 = X\)로 치환하여 \(X\)에 대한 이차식으로 변환합니다.
- 이차식 인수분해: 변환된 \(X\)에 대한 이차식을 인수분해합니다. 이 문제의 경우 완전제곱식이 되는 형태입니다.
- 원래 변수로 되돌리기: 인수분해된 식의 \(X\)를 다시 \(x^2\)으로 바꿉니다.
- 추가 인수분해 (합차 공식): \(x^2\)으로 되돌린 후, 괄호 안의 식이 합차 공식(\(A^2-B^2\)) 형태로 인수분해될 수 있는지 확인하고 적용합니다.
- 제곱 정리: 최종 인수분해 결과를 \((…)^2 (…)^2\) 형태로 정리합니다.
- 계수 비교 및 값 계산: 정리된 식을 \((x+a)^2(x+b)^2\)과 비교하여 \(a, b\) 값을 찾고(\(a>b\) 조건 고려), \(a-b\)를 계산합니다.
주요 공식:
- 완전제곱식: \(A^2 – 2AB + B^2 = (A-B)^2\)
- 합차 공식: \(A^2 – B^2 = (A+B)(A-B)\)
- 지수 법칙: \((AB)^n = A^n B^n\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(x^2 = X\)로 치환하기
주어진 보기차식 \(x^4 – 18x^2 + 81\)에서 \(x^2 = X\)로 치환합니다.
$$ x^4 – 18x^2 + 81 = (x^2)^2 – 18(x^2) + 81 = X^2 – 18X + 81 $$
Step 2: \(X\)에 대한 이차식 인수분해하기
\(X^2 – 18X + 81\)은 완전제곱식 형태입니다.
$$ X^2 – 18X + 81 = X^2 – 2(X)(9) + 9^2 = (X-9)^2 $$
Step 3: 원래 변수 \(x\)로 되돌리기
Step 2의 결과에 \(X = x^2\)를 다시 대입합니다.
$$ (X-9)^2 = (x^2 – 9)^2 $$
Step 4: 괄호 안 추가 인수분해하기 (합차 공식)
괄호 안의 식 \(x^2 – 9\)는 합차 공식으로 인수분해 가능합니다.
$$ x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x+3)(x-3) $$
Step 5: 전체 식 정리하기 (지수 법칙)
Step 4의 결과를 Step 3의 식에 대입합니다.
$$ (x^2 – 9)^2 = \{ (x+3)(x-3) \}^2 $$
지수 법칙 \((AB)^n = A^n B^n\)을 적용하여 정리합니다.
$$ = (x+3)^2 (x-3)^2 $$
Step 6: 계수 비교 및 \(a, b\) 값 결정
Step 5에서 얻은 최종 인수분해 결과 \((x+3)^2 (x-3)^2\)를 문제에서 주어진 형태 \((x+a)^2 (x+b)^2\)와 비교합니다.
두 식을 비교하면 \(\{a, b\} = \{3, -3\}\) 임을 알 수 있습니다.
문제의 조건에서 \(a > b\) 라고 했으므로, 다음과 같이 결정됩니다.
$$ a = 3, \quad b = -3 $$
Step 7: \(a-b\) 값 계산
찾은 \(a, b\) 값을 이용하여 \(a-b\)를 계산합니다.
$$ a-b = 3 – (-3) = 3 + 3 = 6 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 보기차식의 인수분해 문제입니다. 보기차식 \(ax^4 + bx^2 + c\) 형태는 \(x^2=X\)로 치환하여 이차식으로 변환한 후 인수분해하는 것이 일반적인 방법입니다.
- 치환: \(x^2=X\)로 치환하여 \(aX^2+bX+c\) 꼴로 만듭니다.
- 인수분해: \(X\)에 대한 이차식을 인수분해합니다. 이때 완전제곱식이 되거나, 합차 공식을 이용해야 하는 형태로 변형될 수 있습니다.
- 원복 및 추가 인수분해: \(X\)를 다시 \(x^2\)으로 되돌린 후, \(x^2 – k^2\) 형태가 나타나면 합차 공식을 이용하여 더 인수분해합니다.
- 최종 정리: 문제에서 요구하는 형태로 정리하고 계수를 비교합니다.
특히 이 문제는 치환 후 완전제곱식이 되고, 원복 후 합차 공식을 사용하는 전형적인 보기차식 인수분해 패턴을 따릅니다.
✅ 최종 정답
6