고1수학 – 유형 – 12238225 – 73번

Step 1: 주어진 다항식 전개하기

주어진 식은 \(xy(x+y) – yz(y+z) – zx(z-x)\) 입니다.

각 항을 전개합니다.

$$ xy(x+y) = x^2y + xy^2 $$

$$ -yz(y+z) = -y^2z – yz^2 $$

$$ -zx(z-x) = -z^2x + zx^2 $$

전개된 식을 모두 합하면 다음과 같습니다.

$$ x^2y + xy^2 – y^2z – yz^2 – z^2x + zx^2 $$

Step 2: 한 문자(\(x\))에 대해 내림차순으로 정리하기

Step 1에서 전개한 식을 \(x\)에 대해 내림차순으로 정리합니다.

\(x^2\) 항: \(x^2y + zx^2 = (y+z)x^2\)

\(x\) 항: \(xy^2 – z^2x = (y^2 – z^2)x\)

\(x\)가 없는 항: \(-y^2z – yz^2 = -yz(y+z)\)

정리된 식은 다음과 같습니다.

$$ (y+z)x^2 + (y^2 – z^2)x – yz(y+z) $$

Step 3: 공통 인수 찾기 및 묶어내기

Step 2에서 정리한 식을 다시 봅니다.

$$ (y+z)x^2 + (y^2 – z^2)x – yz(y+z) $$

가운데 항의 계수 \(y^2 – z^2\)는 합차 공식으로 \((y+z)(y-z)\)로 인수분해됩니다.

식을 다시 쓰면,

$$ (y+z)x^2 + (y+z)(y-z)x – yz(y+z) $$

이제 모든 항에 공통 인수 \((y+z)\)가 있음을 알 수 있습니다. 이 공통 인수를 묶어냅니다.

$$ (y+z) \{ x^2 + (y-z)x – yz \} $$

Step 4: 괄호 안의 이차식 인수분해하기

괄호 안에 있는 \(x\)에 대한 이차식 \(x^2 + (y-z)x – yz\)를 인수분해합니다.

이 식은 \(x^2 + (\text{합})x + (\text{곱})\) 형태로 볼 수 있습니다.

곱해서 \(-yz\)가 되고 더해서 \((y-z)\)가 되는 두 식(또는 수)을 찾아야 합니다.

그 두 식은 \(+y\)와 \(-z\) 입니다.

• 곱: \(y \times (-z) = -yz\)
• 합: \(y + (-z) = y-z\)

따라서 이차식은 다음과 같이 인수분해됩니다.

$$ x^2 + (y-z)x – yz = (x+y)(x-z) $$

Step 5: 최종 인수분해 결과 및 인수 확인

Step 3과 Step 4의 결과를 합치면 주어진 다항식의 최종 인수분해 결과는 다음과 같습니다.

$$ (y+z)(x+y)(x-z) $$

이 다항식의 인수는 \((y+z)\), \((x+y)\), \((x-z)\) 그리고 이들의 곱으로 이루어진 식들입니다.

이제 보기 중에서 이 인수들에 해당하는 것을 찾습니다.

• ① \(x-y\): 인수가 아님
• ② \(x-z\): 인수임
• ③ \(y-z\): 인수가 아님 (괄호 안 이차식 계수였음)
• ④ \(x-y+z\): 인수가 아님
• ⑤ \(x+y+z\): 인수가 아님