📘 문제 요약
다항식 \( (x^2 + ax – 3)(x^2 + bx + 7) \)의 전개식에서
– \( x^3 \)의 계수 = 0
– \( x^2 \)의 계수 = 0
일 때, \( x \)의 계수를 구하는 문제입니다.
(단, \( a > b \)라는 조건이 주어짐)
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 전개식 항 분석
전개했을 때 생기는 항들을 나열해보면:
- \( x^2 \cdot x^2 = x^4 \)
- \( ax \cdot bx = abx^2 \)
- \( ax \cdot x^2 = ax^3 \)
- \( x^2 \cdot bx = bx^3 \)
- \( -3 \cdot x^2 = -3x^2 \)
- \( ax \cdot 7 = 7ax \)
- \( -3 \cdot bx = -3bx \)
- \( -3 \cdot 7 = -21 \)
그중 관심 있는 항:
- \( x^3 \)의 계수: \( ax^3 + bx^3 = (a + b)x^3 \)
- \( x^2 \)의 계수: \( abx^2 + 7x^2 – 3x^2 = (ab + 4)x^2 \)
🔵 Step 2. 조건에 따른 연립방정식 구성
조건에 따라 다음과 같은 방정식을 얻습니다:
- \( a + b = 0 \)
- \( ab + 4 = 0 \)
\( b = -a \)를 두 번째 식에 대입:
\( ab + 4 = 0 \Rightarrow a(-a) + 4 = 0 \Rightarrow -a^2 + 4 = 0 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2 \)
조건 \( a > b \)에 따라:
\( a = 2, b = -2 \) 만 가능
🔵 Step 3. \( x \)의 계수 계산
\( x \)항은 다음 항에서 나옵니다:
- \( ax \cdot 7 = 7a \cdot x \)
- \( -3 \cdot bx = -3b \cdot x \)
따라서 \( x \)의 계수는:
\( 7a – 3b = 7 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) = 14 + 6 = 20 \)
🧠 마무리 개념 정리
- 다항식 전개 시 항 구분: 필요한 항의 구조만 빠르게 파악하는 것이 시간 절약의 핵심입니다.
- 연립방정식 전략: 한 식을 정리해서 다른 식에 대입하는 방식으로 쉽게 풀이 가능.
- 불필요한 전체 전개 지양: \(x\)항만 필요한 경우, 해당 항만 계산하면 됨.
✅ 최종 정답
\[ \boxed{20} \Rightarrow \text{③번} \]