📘 문제 요약
모든 실수 \( x \)에 대해 아래의 항등식이 항상 성립한다고 합니다.
\( a(x+1)^2 + b(x+1) + cx^2 = 3x – 1 \)
이때, 상수 \( a, b, c \)의 합 \( a + b + c \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 좌변 전개
먼저 좌변을 전개해 봅시다. \[ \begin{align*} a(x+1)^2 &= a(x^2 + 2x + 1) = ax^2 + 2ax + a \\ b(x+1) &= bx + b \\ cx^2 &= cx^2 \end{align*} \] 이들을 모두 더하면, \[ (ax^2 + cx^2) + (2a x + b x) + (a + b) = (a + c)x^2 + (2a + b)x + (a + b) \]
🔵 Step 2. 항등식 조건 적용
우변은 \( 3x – 1 \)이므로, \[ \begin{align*} x^2 \text{ 항 계수: } & a + c = 0 \\ x \text{ 항 계수: } & 2a + b = 3 \\ 상수항: & a + b = -1 \end{align*} \] 위의 조건을 만족하는 \( a, b, c \)를 구해보겠습니다.
🔵 Step 3. 연립방정식 풀이
첫 번째 식에서 \( c = -a \) 이고,
두 번째와 세 번째 식을 이용해,
\[
\begin{align*}
2a + b &= 3 \tag{1} \\
a + b &= -1 \tag{2}
\end{align*}
\]
(1) – (2)를 하면:
\[
2a + b – (a + b) = 3 – (-1) \Rightarrow a = 4
\]
(2)에 대입하여:
\[
4 + b = -1 \Rightarrow b = -5
\]
또한, \( c = -a = -4 \)
🔵 Step 4. 상수의 합 구하기
\[ a + b + c = 4 + (-5) + (-4) = -5 \]
🧠 마무리 개념 정리
- 항등식: 모든 \( x \)에 대해 성립하는 등식으로, 차수가 같은 항의 계수를 비교해서 연립방정식을 세울 수 있습니다.
- 항등식에서 계수 비교: 좌변과 우변의 각 항의 계수를 비교해 \( a