📘 문제 요약
\((x^2 – 6x + 5)(x^2 – 2x – 3) + 12\) 을 인수분해하면 두 개의 이차 다항식 \(f(x)\), \(g(x)\)의 곱으로 표현됩니다. 이때 \(f(x) + g(x)\)의 값을 묻는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 다항식 전개 및 인수분해를 위한 준비
먼저 주어진 식을 전개하지 않고, 인수분해를 하기 위해 먼저 인수로 나눠볼 수 있는지 확인합니다.
\[ (x^2 – 6x + 5)(x^2 – 2x – 3) + 12 \]
각 이차식은 다음과 같이 인수분해됩니다.
\[ x^2 – 6x + 5 = (x – 1)(x – 5), \quad x^2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1) \]
따라서 식은 \[ (x – 1)(x – 5)(x – 3)(x + 1) + 12 \]
🔵 Step 2. 치환을 이용한 인수분해
여기서 눈에 띄는 패턴은 짝을 잘 지으면 다음과 같이 쓸 수 있다는 점입니다:
\[ (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x + 1) \]
곱의 순서를 바꾸어 다음과 같이 씁니다:
\[ [(x – 1)(x + 1)][(x – 3)(x – 5)] = (x^2 – 1)(x^2 – 8x + 15) \]
그러면 원래 식은 \[ (x^2 – 1)(x^2 – 8x + 15) + 12 \]
🔵 Step 3. 다시 치환하여 단순화하기
다항식 전체에서 \(x^2 – 4x\)를 기준으로 치환을 시도해보면 더 간단해집니다. \[ x^2 – 4x = t \quad \text{로 치환하면} \]
\[ x^2 – 6x + 5 = t – 2x + 5, \quad x^2 – 2x – 3 = t + 2x – 3 \]
이 방법은 복잡하므로, 단순히 \(x^2 – 4x = t\)로 치환한 풀이에 집중하면:
\[ (x^2 – 4x + 3)(x^2 – 4x – 5) + 12 = (t + 3)(t – 5) + 12 \]
이 식을 전개하면 \[ t^2 – 2t – 15 + 12 = t^2 – 2t – 3 = (t – 3)(t + 1) \]
따라서 다시 치환을 해주면 \[ (x^2 – 4x – 3)(x^2 – 4x + 1) \]
🔵 Step 4. f(x), g(x) 정의 및 더하기
문제에서 말하는 두 이차다항식 \(f(x), g(x)\)는 \[ f(x) = x^2 – 4x – 3, \quad g(x) = x^2 – 4x + 1 \] 이므로 \[ f(x) + g(x) = 2x^2 – 8x – 2 \]
🧠 마무리 개념 정리
- 복잡한 다항식을 인수분해할 때는 중간에 변수 치환을 활용하면 구조가 단순해지고 인수분해가 쉬워짐
- 여러 개의 인수 곱 구조가 있을 때는 짝을 잘 지어서 곱셈을 단순화하는 것이 핵심
- 최종적으로 구하고자 하는 식이 더하기이므로 인수분해 결과에서 각 항을 더해서 정리해야 함
✅ 최종 정답: ④번
정답: \( \boxed{2x^2 – 8x – 2} \)