📘 문제 요약
다항식 \( (x – 1)(x – 2)(x + 2)(x + 3) + k \)가
\( x \)에 대한 이차식의 완전제곱식 꼴로 인수분해될 때,
상수 \( k \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 괄호 묶기
네 개의 일차식 곱에 상수 \( k \)가 더해진 형태입니다.
이를 다음과 같이 두 쌍으로 묶습니다:
\[ (x – 1)(x – 2)(x + 2)(x + 3) + k = \left[(x – 1)(x + 2)\right]\left[(x – 2)(x + 3)\right] + k \]
🔵 Step 2. 두 쌍을 전개
첫 번째 쌍: \[ (x – 1)(x + 2) = x^2 + x – 2 \] 두 번째 쌍: \[ (x – 2)(x + 3) = x^2 + x – 6 \]
🔵 Step 3. 전체 식 정리
두 결과를 대입하면: \[ (x^2 + x – 2)(x^2 + x – 6) + k \] 여기서 \( x^2 + x = X \)로 치환하면: \[ (X – 2)(X – 6) + k \]
🔵 Step 4. 완전제곱식 조건
\[ (X – 2)(X – 6) = X^2 – 8X + 12 \] \[ X^2 – 8X + 12 + k \] 이 식이 완전제곱식이 되려면: \[ X^2 – 8X + 16 = (X – 4)^2 \] 따라서 \( 12 + k = 16 \Rightarrow k = 4 \)
🧠 마무리 개념 정리
- 완전제곱식: 어떤 이차식 \( ax^2 + bx + c \)가 완전제곱식이 되기 위한 조건은 \( c = \frac{b^2}{4a} \)
- 치환의 활용: 복잡한 식에서 부분을 \( X \)로 치환하여 문제를 단순화할 수 있음
- 계수 비교: 전개한 식과 완전제곱식을 비교하여 상수를 구하는 전략
✅ 최종 정답
\[ \boxed{k = 4} \]
정답: ③번