📘 문제 요약
다항식 \( 3x^2 + 2xy – y^2 + 4x – 4y – 4 \)를 인수분해했을 때,
그 형태가 \( (x + ay + b)(3x + cy + d) \)일 때
정수 \( a, b, c, d \)에 대해 \( ab + cd \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 식을 x에 대해 정리하기
항들의 차수가 \( x, y \) 둘 다 2차 이하이므로, \( x \)에 대한 내림차순으로 식을 정리해보겠습니다.
\[ 3x^2 + 2xy – y^2 + 4x – 4y – 4 = 3x^2 + (2y + 4)x + (-y^2 – 4y – 4) \]🔵 Step 2. 위 식을 인수분해하기
이제 위 식을 두 개의 이차 다항식 곱으로 인수분해해 보겠습니다.
즉, 다음과 같은 꼴로 생각할 수 있습니다.
🔵 Step 3. 계수 비교하여 a, b, c, d 구하기
위 결과에서 각각의 항을 비교하면 다음과 같습니다:
- \( a = 1 \)
- \( b = 2 \)
- \( c = -1 \)
- \( d = -2 \)
🔵 Step 4. 최종 계산
이제 \( ab + cd \)의 값을 구해보면,
\[ ab + cd = (1)(2) + (-1)(-2) = 2 + 2 = 4 \]🧠 마무리 개념 정리
- 다항식을 인수분해할 때는 특정 문자에 대해 내림차순으로 정리하면 구조가 보이기 쉬움.
- \( (x + ay + b)(3x + cy + d) \) 꼴로 인수분해될 때는 곱셈 전개를 통해 계수를 비교하는 방식으로 풀 수 있음.
- 최종적으로 필요한 값은 식에 주어진 항끼리 곱한 후 합하는 것이므로 정확한 대입과 연산이 중요함.
✅ 최종 정답
⑤번 4