📘 문제 요약
세 변의 길이가 \( a \), \( b \), \( c \)인 삼각형이 다음의 등식을 만족합니다.
\[ (a^2 – b^2 + c^2)b^2 = a^2(-a^2 + b^2 – c^2) \]
이 삼각형은 어떤 삼각형인지 묻는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 양변 전개하기
좌변 전개:
\[ (a^2 – b^2 + c^2)b^2 = a^2b^2 – b^4 + b^2c^2 \]우변 전개:
\[ a^2(-a^2 + b^2 – c^2) = -a^4 + a^2b^2 – a^2c^2 \]전체 등식 정리:
\[ a^2b^2 – b^4 + b^2c^2 = -a^4 + a^2b^2 – a^2c^2 \]양변에서 \( a^2b^2 \) 제거:
\[ -b^4 + b^2c^2 = -a^4 – a^2c^2 \]🔵 Step 2. 인수분해를 활용해 구조 파악하기
위 식을 모두 좌변으로 정리하면:
\[ a^4 – b^4 + a^2c^2 + b^2c^2 = 0 \]묶어서 정리하면:
\[ a^2(a^2 + c^2) + b^2(c^2 – b^2) = 0 \]하지만 더 간단한 구조 파악을 위해 해설에서는 다음과 같은 인수분해 과정을 거칩니다:
🔵 Step 3. 인수분해
\[ (a^2 – b^2 + c^2)b^2 = a^2(-a^2 + b^2 – c^2) \Rightarrow (a^2 + c^2) = b^2 \]즉, 이 삼각형은 다음 성질을 만족합니다:
\[ a^2 + c^2 = b^2 \]🧠 마무리 개념 정리
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 빗변 제곱은 나머지 두 변 제곱의 합과 같다.
- \( a^2 + c^2 = b^2 \) → 이 삼각형은 직각삼각형
- 빗변은 \( b \)가 된다.
✅ 최종 정답
⑤번. \( b \)가 빗변인 직각삼각형