📘 문제 요약
다항식 \( P(x) = x^3 – 3x^2 – x + 3 \), \( Q(x) = x^3 – 7x + 6 \)에 대하여 \( P(a) = 0 \)이고, \( Q(a) \ne 0 \)인 모든 실수 \( a \)의 값의 합을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. \( P(x) \)의 실근 찾기
\( P(x) = x^3 – 3x^2 – x + 3 \)를因수분해 해보겠습니다.
조립제법으로 \( x = -1 \)을 대입하면 나누어떨어집니다.
\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & -3 & -1 & 3 \\ & & -1 & 4 & -3 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \\ \end{array} \]
따라서, \[ P(x) = (x + 1)(x^2 – 4x + 3) = (x + 1)(x – 1)(x – 3) \]
즉, \( P(x) = 0 \)의 실근은 \( x = -1, 1, 3 \)입니다.
🔵 Step 2. \( Q(x) = x^3 – 7x + 6 \)의 근 구하기
이번엔 \( Q(x) \)도因수분해 해봅시다. \( Q(x) = x^3 – 7x + 6 \)에서 \( x = 1 \)을 대입하면 나누어떨어집니다.
\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \\ & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \\ \end{array} \]
따라서 \[ Q(x) = (x – 1)(x^2 + x – 6) = (x – 1)(x – 2)(x + 3) \]
즉, \( Q(x) = 0 \)의 실근은 \( x = 1, 2, -3 \)입니다.
🔵 Step 3. 조건 만족하는 \( a \) 찾기
문제는 \( P(a) = 0 \), \( Q(a) \ne 0 \)인 실수 \( a \)의 값을 구하라는 것.
\( P(a) = 0 \)이려면 \( a = -1, 1, 3 \) 중 하나여야 합니다.
이 중에서 \( Q(a) \ne 0 \)인 값을 찾아야 합니다.
– \( a = -1 \): \( Q(-1) = (-1)^3 + 7 + 6 = 12 \ne 0 \)
– \( a = 1 \): \( Q(1) = 0 \) → 제외
– \( a = 3 \): \( Q(3) = 27 – 21 + 6 = 12 \ne 0 \)
조건을 만족하는 \( a \)는 \( -1, 3 \), 합은 \( -1 + 3 = 2 \)