📘 문제 요약
다항식 \( 8x^3 – 4x^2 – 2x + 1 \)의 인수 중에서 주어진 보기 중 어떤 것이 인수인지 찾는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 인수정리를 이용한 대입법
인수정리에 따르면, 다항식 \( f(x) \)에 대해 \( f(r) = 0 \)이 되는 수 \( r \)에 대해 \( x – r \)은 인수입니다.
따라서 \( f(x) = 8x^3 – 4x^2 – 2x + 1 \)이라 할 때, 각 보기의 수를 대입해보며 \( f(x) = 0 \)이 되는지 확인합니다.
🔵 Step 2. \( x = \frac{1}{2} \) 대입
\( f\left(\frac{1}{2}\right) = 8\left(\frac{1}{2}\right)^3 – 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 – 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1 \)
= \( 8 \cdot \frac{1}{8} – 4 \cdot \frac{1}{4} – 1 + 1 = 1 – 1 – 1 + 1 = 0 \)
따라서 \( x = \frac{1}{2} \)는 방정식의 해이며, \( x – \frac{1}{2} \)는 인수입니다.
이 인수는 정수 계수로 나타내면 \( 2x – 1 \)이 됩니다.
🔵 Step 3. 조립제법을 이용한 확인
\( f(x) \)를 \( x – \frac{1}{2} \)로 나누었을 때의 몫을 조립제법으로 계산해보면 다음과 같습니다.
계수: 8 | -4 | -2 | 1
조립제법 진행 → 몫: \( 8x^2 – 2x – 2 \)
따라서 \( f(x) = (x – \frac{1}{2})(8x^2 – 2x – 2) \)
이것은 \( f(x) = (2x – 1)(4x^2 – x – 1) = (2x – 1)(2x + 1)(2x – 1) \)로 인수분해됩니다.
따라서 인수 중 하나는 \( 2x + 1 \)이 됩니다.
🧠 마무리 개념 정리
- 인수정리: \( f(r) = 0 \)이면 \( x – r \)은 \( f(x) \)의 인수이다.
- 정수 계수 다항식: 분수 형태 인수는 양변에 적절한 수를 곱하여 정수 계수 인수로 바꾼다.
- 조립제법: 다항식을 빠르게 나누어 몫을 구하는 방법으로, 나머지가 0이면 인수가 맞는다.
✅ 최종 정답
③ \( 2x + 1 \)