📘 문제 요약
항상 일정한 값을 가지는 분수식이 있습니다:
$$ \frac{2x^2 + px + 8}{6x^2 + 3qx – 8p} $$
이 식의 값이 모든 실수 \( x \)에 대해 일정하다고 주어졌습니다.
즉, 이 분수식이 항등식이라는 의미입니다.
이때 상수 \( p \), \( q \)에 대해 다음 값을 구하시오:
$$ p^2 + q^2 $$
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 항등식 조건 이해하기
모든 \( x \)에 대해 일정하므로 다음과 같은 항등식이 성립합니다:
$$ \frac{2x^2 + px + 8}{6x^2 + 3qx – 8p} = k \quad (k \text{는 상수}) $$
양변에 분모를 곱해주면:
$$ 2x^2 + px + 8 = k(6x^2 + 3qx – 8p) $$
🔵 Step 2. 항등식 정리 후 계수 비교
우변을 전개합니다:
$$ 2x^2 + px + 8 = 6k x^2 + 3qk x – 8pk $$
이제 계수를 비교해줍니다:
- \( x^2 \) 계수 비교: \( 2 = 6k \Rightarrow k = \frac{1}{3} \)
- \( x \) 계수 비교: \( p = 3qk = 3q \cdot \frac{1}{3} = q \Rightarrow p = q \)
- 상수항 비교: \( 8 = -8pk \Rightarrow 8 = -8p \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow p = -3 \)
따라서 \( p = -3 \), \( q = -3 \)
🔵 Step 3. 최종 계산
$$ p^2 + q^2 = (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = \boxed{18} $$
🧠 마무리 개념 정리
- 항등식 조건: 모든 \( x \)에 대해 일정하다는 것은 계수 비교가 가능하다는 뜻
- 항등식 구성: 같은 차수의 항끼리 계수를 맞추면 됨
- 전개 후 비교: \( x^2 \), \( x \), 상수항의 계수를 각각 비교하여 미지수를 구할 수 있음
✅ 최종 정답
\( \boxed{18} \)