📘 문제 요약
다항식 \( (x^3 + 2x^2 + x)^3 \)을 전개했을 때, 그 결과가 다음과 같은 꼴로 표현됩니다:
\[ a_9x^9 + a_8x^8 + a_7x^7 + \cdots + a_1x + a_0 \]
이때, 홀수 차수의 계수들의 합, 즉 \( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 다항식 전체 계수의 합 구하기 ( \( x = 1 \) 대입)
다항식의 모든 항의 계수 합은 \( x = 1 \)을 대입했을 때 나옵니다.
\[ (x^3 + 2x^2 + x)^3 \text{ 에서 } x = 1 \text{을 대입하면} \] \[ (1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1)^3 = (1 + 2 + 1)^3 = 4^3 = 64 \]
즉, 다음이 성립합니다: \[ a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_9 = 64 \tag{①} \]
🔵 Step 2. 홀수 차수와 짝수 차수의 계수 차 구하기 ( \( x = -1 \) 대입)
\( x = -1 \)을 대입하면 홀수 차수는 음수, 짝수 차수는 양수 부호로 들어가며, 다항식 값을 통해 짝수차 계수합과 홀수차 계수합의 차를 알 수 있습니다.
\[ (x^3 + 2x^2 + x)^3 \text{ 에서 } x = -1 \text{을 대입하면} \] \[ (-1^3 + 2 \cdot (-1)^2 + (-1))^3 = (-1 + 2 -1)^3 = 0^3 = 0 \]
즉, \[ a_0 – a_1 + a_2 – a_3 + a_4 – a_5 + a_6 – a_7 + a_8 – a_9 = 0 \tag{②} \]
🔵 Step 3. ① + ②를 활용하여 홀수 차수 항만 추출
①번과 ②번을 더하면 짝수 차수의 계수들은 두 번 더해지고, 홀수 차수의 계수는 사라집니다. 하지만 우리는 홀수 항의 합이 필요하므로 식을 다음과 같이 구성합니다:
①에서 ②를 빼면 다음이 됩니다:
\[ (a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_9) – (a_0 – a_1 + a_2 – a_3 + a_4 – a_5 + \cdots – a_9) \] \[ = 2(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9) \]
따라서 \[ 64 – 0 = 2(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9) \Rightarrow a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = \frac{64}{2} = 32 \]