📘 문제 요약
모든 실수 \( x \)에 대해 다음 등식이 성립한다고 할 때,
\[ (x – p)(x – q)(x – r) = (x + p)(x + q)(x + r) \]
보기 중 옳은 것만을 고르시오. (단, \( p, q, r \)은 상수이다.)
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 좌변과 우변 전개
좌변:
\[ (x – p)(x – q)(x – r) = x^3 – (p + q + r)x^2 + (pq + qr + rp)x – pqr \]
우변:
\[ (x + p)(x + q)(x + r) = x^3 + (p + q + r)x^2 + (pq + qr + rp)x + pqr \]
🔵 Step 2. 양변 계수 비교
\[ x^3 \text{ 항은 같고,} \]
\[ – (p + q + r) = (p + q + r) \Rightarrow p + q + r = 0 \]
\[ – pqr = pqr \Rightarrow pqr = 0 \]
따라서 조건은 다음과 같습니다:
- \( p + q + r = 0 \)
- \( pqr = 0 \)
🔵 Step 3. 보기 판단
ㄱ. \( p, q, r \) 중 적어도 하나는 0이다:
→ \( pqr = 0 \)이므로 참 ✅
ㄴ. \( r = 0 \)이면 \( p = q \)이다:
→ 반례 존재: \( r = 0, p = 1, q = -1 \) → 성립하므로 거짓 ❌
ㄷ. \( p, q, r \)이 연속된 정수라면 \( p + 2q + 3r = 2 \):
→ \( p = q – 1, r = q + 1 \)이라고 하면,
\[
p + q + r = (q – 1) + q + (q + 1) = 3q = 0 \Rightarrow q = 0
\Rightarrow p = -1, q = 0, r = 1
\]
\[
p + 2q + 3r = -1 + 0 + 3 = 2
\]
→ 참 ✅
✅ 최종 정답
③ ㄱ, ㄷ
🧠 마무리 개념 정리
- 항등식의 조건은 모든 계수 비교로 성립합니다.
- \( pqr = 0 \)이라면 세 수 중 하나는 0입니다.
- 주어진 보기 조건들을 조건식에 대입하며 판단하는 방식으로 해결합니다.