📘 문제 요약
다항식 \( (2 + 6x – x^3)^2 \) 을 전개하여 \( x \) 에 대한 항등식으로 나타냈을 때,
계수 \( a_0 + a_2 + a_4 + a_6 \) 의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 항등식 전개 방식 이용
주어진 식은 다음과 같습니다.
\[ (2 + 6x – x^3)^2 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + a_6 x^6 \]
🔵 Step 2. \( x = 1 \) 대입
모든 \( x \) 에 대해 성립하는 항등식이므로, \( x = 1 \)을 대입하면 다음과 같은 값을 얻습니다:
\[ (2 + 6(1) – 1^3)^2 = (2 + 6 – 1)^2 = 7^2 = 49 \]
좌변은 49, 우변은:
\[ a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 49 \tag{①} \]
🔵 Step 3. \( x = -1 \) 대입
이제 \( x = -1 \) 을 대입해보면:
\[ (2 + 6(-1) – (-1)^3)^2 = (2 – 6 + 1)^2 = (-3)^2 = 9 \]
좌변은 9, 우변은:
\[ a_0 – a_1 + a_2 – a_3 + a_4 – a_5 + a_6 = 9 \tag{②} \]
🔵 Step 4. ① + ② 해보기
위의 두 식을 더하면 짝수차 계수만 남게 됩니다:
\[ (①) + (②) \Rightarrow 2(a_0 + a_2 + a_4 + a_6) = 58 \]
따라서,
\[ a_0 + a_2 + a_4 + a_6 = \frac{58}{2} = 29 \]
🧠 마무리 개념 정리
- 항등식에서 \( x \)에 특정 값을 대입하면, 계수들의 합 조건을 얻을 수 있습니다.
- 짝수차 계수의 합이 필요할 때는 \( x = 1 \)과 \( x = -1 \)을 대입하고 두 식을 더하는 방식이 유용합니다.
- 이는 다항식의 대칭성 (짝수/홀수 성분) 을 활용한 매우 중요한 기법입니다.
✅ 최종 정답
\[ \boxed{29} \]