문제 풀이
다항식 \( P(x) \)를 \( x+2 \)로 나누었을 때의 나머지가 6이고,
\( 2x^2 + 3x + 1 \)로 나누었을 때의 나머지가 \( x – 1 \)이다.
다항식 \( P(x) \)를 \( 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2 \)로 나누었을 때의 나머지를 \( R(x) \)라고 할 때, \( R(1) \)의 값을 구하여라.
✅ 풀이
다항식 \( P(x) \)를 \( 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2 \)로 나누었을 때의 몫을 \( Q(x) \), 나머지를 \( ax^2 + bx + c \)라 하자.
그러면 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[ P(x) = (2x^3 + 7x^2 + 7x + 2)Q(x) + ax^2 + bx + c \]
이 식에서 \( 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2 = (x+2)(2x^2 + 3x + 1) \)이므로,
\[ P(x) = (x+2)(2x^2 + 3x + 1)Q(x) + ax^2 + bx + c \tag{①} \]
또한 \( P(x) \)를 \( 2x^2 + 3x + 1 \)로 나눈 나머지가 \( x – 1 \)이므로, 위 식에서 나머지를 다음처럼 다시 표현할 수 있다.
\[ P(x) = (x+2)(2x^2 + 3x + 1)Q(x) + \frac{\alpha}{2}(2x^2 + 3x + 1) + x – 1 \tag{②} \]
또한 \( P(x) \)를 \( x+2 \)로 나누었을 때 나머지가 6이므로, 식 (②)에 \( x = -2 \)를 대입하면
\[ P(-2) = 6 = \frac{\alpha}{2}(2(-2)^2 + 3(-2) + 1) + (-2) – 1 \]
\[ 6 = \frac{\alpha}{2}(8 – 6 + 1) – 3 = \frac{3\alpha}{2} – 3 \Rightarrow \frac{3\alpha}{2} = 9 \Rightarrow \alpha = 6 \]
따라서 \( R(x) \)는 다음과 같다.
\[ R(x) = \frac{6}{2}(2x^2 + 3x + 1) + x – 1 = 6x^2 + 10x + 2 \]
그러므로
\[ R(1) = 6(1)^2 + 10(1) + 2 = 18 \]
✅ 최종 정답
18