문제 풀이
다항식 \( P(x) \)를 \( (x+1)(x+3) \)으로 나누었을 때의 나머지가 \( x-1 \)일 때, 옳은 것을 보기에서 고르는 문제입니다.
조건 정리
주어진 조건: \[ P(x) = (x+1)(x+3)Q(x) + x – 1 \] 여기서 \( Q(x) \)는 어떤 다항식입니다.
보기 검토
ㄱ. \( P(x)+2 \)는 \( x+1 \)로 나누어떨어진다
\[ P(x)+2 = (x+1)(x+3)Q(x) + x – 1 + 2 = (x+1)(x+3)Q(x) + x + 1 \] 이 식을 \( x = -1 \)에 대입하면, \[ P(-1) + 2 = -1 + 1 = 0 \] 즉, 나머지가 0이므로 \( x+1 \)로 나누어떨어짐 → 참
ㄴ. \( P(x-2) \)를 \( x+1 \)로 나누었을 때의 나머지는 \( -4 \)이다
\( P(x-2) \bmod (x+1) \)을 계산하려면 \( x = -1 \)일 때, \[ P(x-2) \Rightarrow P(-3) = -3 – 1 = -4 \] → 참
ㄷ. \( xP\left(\frac{1}{3}x\right) \)를 \( x+9 \)로 나누었을 때의 나머지는 36이다
\[ xP\left(\frac{1}{3}x\right) \Rightarrow x = -9 \Rightarrow \text{나머지} = -9 \cdot P\left(\frac{-9}{3}\right) = -9 \cdot P(-3) \] \[ P(-3) = -4 \Rightarrow -9 \cdot (-4) = 36 \] → 참
최종 정답
ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이므로
정답: ⑤번