📘 문제 요약
이차다항식 \( f(x) \)에 대해 다음과 같은 조건이 주어졌습니다.
- 이차항의 계수가 1이다.
- \( f(x) + 4 \)는 \( x + 2 \)로 나누어떨어진다 → \( f(-2) = -4 \)
- \( f(x) – 24 \)는 \( x – 2 \)로 나누어떨어진다 → \( f(2) = 24 \)
이때 \( f(10) \)의 값을 구하시오.
✅ 단계별 풀이
🔵 Step 1. 함수의 형태 설정
이차항의 계수가 1이므로,
\( f(x) = x^2 + ax + b \)
🔵 Step 2. 조건을 함수값으로 해석
- \( f(x) + 4 \)가 \( x + 2 \)로 나누어떨어진다는 것은 \( f(-2) = -4 \)
- \( f(x) – 24 \)가 \( x – 2 \)로 나누어떨어진다는 것은 \( f(2) = 24 \)
🔵 Step 3. 조건을 대입하여 연립방정식 만들기
\( f(-2) = 4 – 2a + b = -4 \Rightarrow -2a + b = -8 \quad \text{(식 ①)} \)
\( f(2) = 4 + 2a + b = 24 \Rightarrow 2a + b = 20 \quad \text{(식 ②)} \)
🔵 Step 4. 연립방정식 풀기
식 ① + 식 ②:
\( (-2a + b) + (2a + b) = -8 + 20 \Rightarrow 2b = 12 \Rightarrow b = 6 \)
식 ②에 대입: \( 2a + 6 = 20 \Rightarrow a = 7 \)
🔵 Step 5. \( f(10) \) 계산
\( f(x) = x^2 + 7x + 6 \)
\( f(10) = 100 + 70 + 6 = \boxed{176} \)
🧠 마무리 개념 정리
- 나머지가 0인 조건: 나누어떨어진다는 것은 해당 인수를 대입한 값이 0이라는 뜻
- 이차다항식 형태 고정: 계수를 고정하고 나머지만 미지수로 두면 문제 풀이가 쉬워짐
- 함수값으로 연립방정식 구성: 두 점을 통해 이차함수의 계수들을 결정 가능