📘 문제 요약
서로 다른 두 실수 \( a, b \)에 대해 아래와 같은 식이 주어졌습니다:
\[ \frac{(a-3)^2}{a-b} + \frac{(b-3)^2}{b-a} = 10 \]
이때 \( a + b \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 식의 변형
주어진 식은 다음과 같습니다: \[ \frac{(a-3)^2}{a-b} + \frac{(b-3)^2}{b-a} = 10 \]
여기서 두 번째 분모를 \( -(a – b) \)로 바꾸면 다음과 같이 정리됩니다: \[ \frac{(a-3)^2}{a-b} – \frac{(b-3)^2}{a-b} = 10 \]
같은 분모이므로 분자끼리 정리해서 하나의 분수로 묶습니다: \[ \frac{(a-3)^2 – (b-3)^2}{a – b} = 10 \]
🔵 Step 2. 차의 제곱 공식 적용
\((a-3)^2 – (b-3)^2\)는 차의 제곱 공식이므로,
\[ (a-3)^2 – (b-3)^2 = \left[(a-3)-(b-3)\right]\left[(a-3)+(b-3)\right] = (a – b)(a + b – 6) \]
따라서 분자는 \( (a – b)(a + b – 6) \)가 됩니다.
🔵 Step 3. 약분
분자에 \( a – b \), 분모에도 \( a – b \)가 있으므로 나눠주면 남는 식은: \[ a + b – 6 = 10 \]
🔵 Step 4. 최종 정답 도출
\[ a + b = 16 \]
🧠 마무리 개념 정리
- 💡 분모가 서로 반대일 때 정리법: \(\frac{A}{x} + \frac{B}{-x} = \frac{A – B}{x}\)로 정리 가능
- 💡 제곱의 차 공식 활용: \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\)를 사용해 전개 및 인수분해에 자주 활용
- 💡 약분 후 간단한 일차 방정식으로 정리: 복잡해 보여도 대부분 단순한 방정식으로 귀결됨