📌 문제 정확히 이해하기
- 직육면체 \( ABCD – EFGH \)가 있습니다.
- 모든 모서리 길이의 합이 **20인 직육면체**입니다.
- 대각선 \( AG = \sqrt{13} \)가 주어졌습니다.
- 직육면체의 **겉넓이**를 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 직육면체의 기본 성질 정리
직육면체에서 세 변의 길이를 각각 \( a, b, c \)라고 하면,
- 대각선 길이는 피타고라스 정리를 이용하여
로 구할 수 있습니다.
- 모든 모서리의 길이의 합은
로 표현됩니다.
[Step 2] 주어진 조건을 식으로 정리
(1) 대각선 길이 조건 사용하기
문제에서 대각선의 길이가 주어졌습니다.
\[ AG = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{13} \]따라서,
\[ a^2 + b^2 + c^2 = 13 \](2) 모든 모서리 길이 조건 사용하기
문제에서 모든 모서리의 길이의 합이 **20**이라고 주어졌습니다.
\[ 4(a + b + c) = 20 \]양변을 4로 나누면,
\[ a + b + c = 5 \][Step 3] 직육면체의 겉넓이 공식 활용
직육면체의 겉넓이 공식은 다음과 같습니다.
\[ \text{겉넓이} = 2(ab + bc + ca) \]이제 \( ab + bc + ca \)를 구해야 합니다.
제곱 합의 전개 공식을 사용하면,
\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \]이 식에 우리가 알고 있는 값을 대입합니다.
\[ 5^2 = 13 + 2(ab + bc + ca) \] \[ 25 = 13 + 2(ab + bc + ca) \]양변에서 13을 빼면,
\[ 2(ab + bc + ca) = 25 – 13 = 12 \]따라서 직육면체의 **겉넓이**는
\[ \boxed{12} \]🎯 최종 정답 확인하기
최종 정답은 보기 ②번입니다.
\[ \boxed{12} \]