📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 등식 \(3x^2 – 4x + 7 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c\)가 \(x\)에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 \(a, b, c\)를 구하고, 이들의 곱 \(abc\)의 값을 계산하는 문제입니다.
항등식은 \(x\)의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식입니다. 항등식의 미정계수(\(a, b, c\))를 결정하는 방법에는 크게 두 가지가 있습니다.
- 계수 비교법: 등식의 양변을 같은 문자에 대해 내림차순으로 정리한 후, 동류항의 계수가 서로 같다고 놓고 연립 방정식을 풀어 계수를 결정하는 방법입니다. (해설 이미지에서 사용한 방법)
- 수치 대입법: 항등식은 어떤 값을 대입해도 성립하므로, 적절한 수치를 대입하여 미정계수에 대한 방정식을 얻고 이를 풀어 계수를 결정하는 방법입니다. (특히 \(x-1\)과 같은 인수가 반복될 때는 \(x=1\)을 대입하면 식이 간단해집니다.)
이 풀이에서는 해설 이미지와 동일하게 계수 비교법을 사용합니다.
- 등식의 우변을 전개하여 \(x\)에 대한 내림차순으로 정리합니다.
- 좌변과 우변의 각 차수별 계수를 비교하여 \(a, b, c\)에 대한 연립 방정식을 세웁니다.
- 연립 방정식을 풀어 \(a, b, c\) 값을 구합니다.
- \(abc\) 값을 계산합니다.
항등식의 성질:
\(Ax^2 + Bx + C = A’x^2 + B’x + C’\) 가 \(x\)에 대한 항등식이면, \(A=A’, B=B’, C=C’\) 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 우변 전개 및 \(x\)에 대해 정리
주어진 항등식의 우변 \(a(x-1)^2 + b(x-1) + c\)를 전개합니다.
$$ a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 – 2x + 1) + b(x – 1) + c $$
괄호를 풀고 \(x\)에 대한 내림차순으로 정리합니다.
$$ = ax^2 – 2ax + a + bx – b + c $$
$$ = ax^2 + (-2a + b)x + (a – b + c) $$
Step 2: 계수 비교
주어진 등식 \(3x^2 – 4x + 7 = ax^2 + (-2a + b)x + (a – b + c)\)는 \(x\)에 대한 항등식이므로, 양변의 동류항 계수가 같아야 합니다.
- \(x^2\)의 계수 비교: \(3 = a\)
- \(x\)의 계수 비교: \(-4 = -2a + b\)
- 상수항 비교: \(7 = a – b + c\)
Step 3: 연립방정식 풀이 (\(a, b, c\) 값 구하기)
위에서 얻은 세 식을 연립하여 \(a, b, c\) 값을 구합니다.
1. 첫 번째 식에서 바로 \(a = 3\) 임을 알 수 있습니다.
2. 이 값을 두 번째 식 \(-4 = -2a + b\)에 대입합니다.
$$ -4 = -2(3) + b $$
$$ -4 = -6 + b $$
$$ b = -4 + 6 = 2 $$
따라서 \(b = 2\) 입니다.
3. \(a=3\)과 \(b=2\)를 세 번째 식 \(7 = a – b + c\)에 대입합니다.
$$ 7 = 3 – 2 + c $$
$$ 7 = 1 + c $$
$$ c = 7 – 1 = 6 $$
따라서 \(c = 6\) 입니다.
정리하면, \(\mathbf{a = 3, b = 2, c = 6}\) 입니다.
Step 4: \(abc\) 값 계산
구한 \(a, b, c\) 값을 곱합니다.
$$ abc = (3) \times (2) \times (6) $$
$$ = 6 \times 6 = 36 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 항등식의 미정계수를 결정하는 방법을 묻는 기본적인 문제입니다. 항등식 문제를 푸는 주요 방법은 다음과 같습니다.
- 계수 비교법: 양변을 동일한 문자에 대해 내림차순(또는 오름차순)으로 정리하고, 각 항의 계수가 같다고 놓고 연립 방정식을 푸는 방법입니다. 식이 비교적 간단하게 전개될 때 유용합니다.
- 수치 대입법: 항등식은 변수에 어떤 값을 대입해도 성립하므로, 식을 간단하게 만드는 적절한 값을 대입하여 계수를 찾는 방법입니다. 특히 \((x-k)\) 형태의 인수가 많을 때 \(x=k\)를 대입하면 효과적입니다.
- (참고) 조립제법 활용: 이 문제의 우변 \(a(x-1)^2 + b(x-1) + c\) 형태는 다항식 \(P(x) = 3x^2 – 4x + 7\)을 \((x-1)\)로 반복해서 나누었을 때의 몫과 나머지와 관련 있습니다(일종의 테일러 전개). 조립제법을 이용하여 \(a, b, c\)를 빠르게 구할 수도 있습니다.
- \(P(x)\)를 \((x-1)\)로 나누면 몫 \(Q_1(x)\), 나머지 \(R_1\). 이때 \(R_1 = c\).
- \(Q_1(x)\)를 \((x-1)\)로 나누면 몫 \(Q_2(x)\), 나머지 \(R_2\). 이때 \(R_2 = b\).
- \(Q_2(x)\)는 상수이며, 이 값이 \(a\)가 됩니다.
문제의 형태에 따라 가장 효율적인 방법을 선택하여 풀 수 있습니다.
✅ 최종 정답
\(abc = 36\)
\(36\)