📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 조건 \(x – y = 1\)을 만족시키는 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 등식 \(px^2 + qx + y^2 – 2xy + ry + 5 = 0\)이 성립한다고 합니다. 이는 일반적인 \(x, y\)에 대한 항등식이 아니라, \(x\)와 \(y\)가 \(x-y=1\)이라는 관계를 가질 때 성립하는 조건부 항등식입니다. 목표는 상수 \(p, q, r\)의 값을 구하여 그 곱 \(pqr\)을 계산하는 것입니다.
이런 종류의 문제를 푸는 가장 일반적인 전략은 조건식을 이용하여 문자 하나를 소거한 후, 남은 문자에 대한 항등식으로 만들어 푸는 것입니다.
- 조건식 \(x – y = 1\)을 이용하여 한 문자(예: \(y\))를 다른 문자(예: \(x\))로 표현합니다 (\(y = x – 1\)).
- 이 관계식을 주어진 등식 \(px^2 + qx + y^2 – 2xy + ry + 5 = 0\)에 대입하여 \(y\)를 소거합니다.
- 대입 후 얻어진 식을 \(x\)에 대한 식으로 정리합니다.
- 이 식은 이제 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립하는 항등식이 됩니다.
- \(x\)에 대한 항등식의 성질(모든 계수가 0)을 이용하여 \(p, q, r\)에 대한 연립 방정식을 세웁니다.
- 연립 방정식을 풀어 \(p, q, r\) 값을 구합니다.
- \(pqr\) 값을 계산합니다.
항등식의 성질:
다항식 \(Ax^2 + Bx + C\)에 대하여, 모든 실수 \(x\)에 대해 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)이 성립할 필요충분조건은 \(A = 0, B = 0, C = 0\) 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 조건식을 이용하여 \(y\) 소거
주어진 조건 \(x – y = 1\)에서 \(y\)를 \(x\)에 대해 표현합니다.
$$ y = x – 1 $$
이 식을 주어진 등식 \(px^2 + qx + y^2 – 2xy + ry + 5 = 0\)에 대입합니다.
$$ px^2 + qx + (x-1)^2 – 2x(x-1) + r(x-1) + 5 = 0 $$
Step 2: 식 전개 및 \(x\)에 대해 정리
대입한 식의 각 항을 전개합니다.
- \((x-1)^2 = x^2 – 2x + 1\)
- \(-2x(x-1) = -2x^2 + 2x\)
- \(r(x-1) = rx – r\)
전개된 항들을 모두 더하고 \(x\)에 대한 내림차순으로 정리합니다.
$$ px^2 + qx + (x^2 – 2x + 1) + (-2x^2 + 2x) + (rx – r) + 5 = 0 $$
\(x^2\) 항: \(px^2 + x^2 – 2x^2 = (p + 1 – 2)x^2 = (p – 1)x^2\)
\(x\) 항: \(qx – 2x + 2x + rx = (q – 2 + 2 + r)x = (q + r)x\)
상수항: \(1 – r + 5 = 6 – r\)
정리된 식은 다음과 같습니다.
$$ (p – 1)x^2 + (q + r)x + (6 – r) = 0 $$
Step 3: 항등식 조건 적용 (\(p, q, r\) 값 구하기)
Step 2에서 얻은 식 \((p – 1)x^2 + (q + r)x + (6 – r) = 0\)은 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립해야 합니다. 따라서 항등식의 성질에 의해 각 항의 계수는 0이어야 합니다.
- \(x^2\)의 계수: \(p – 1 = 0 \implies \mathbf{p = 1}\)
- \(x\)의 계수: \(q + r = 0 \quad \cdots ①\)
- 상수항: \(6 – r = 0 \implies \mathbf{r = 6}\)
\(r=6\)을 식 ①에 대입합니다.
$$ q + 6 = 0 \implies \mathbf{q = -6} $$
따라서 상수 \(p, q, r\)의 값은 \(p = 1, q = -6, r = 6\) 입니다.
Step 4: \(pqr\) 값 계산
구한 \(p, q, r\) 값을 곱합니다.
$$ pqr = (1) \times (-6) \times (6) $$
$$ = -36 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 변수 사이에 특정 조건이 주어진 항등식(조건부 항등식) 문제입니다. 핵심 전략은 다음과 같습니다.
- 문자 소거: 조건식을 이용하여 변수 중 하나를 소거하여, 등식을 하나의 변수에 대한 식으로 만듭니다.
- 항등식 변환: 문자 소거 후 얻어진 식은 이제 남은 변수에 대한 항등식이 됩니다.
- 항등식 성질 적용: \(P(x) = 0\)이 모든 \(x\)에 대한 항등식일 조건은 \(P(x)\)의 모든 계수가 0이라는 성질을 이용합니다.
- 계수 비교: 정리된 항등식에서 각 차수의 계수를 0으로 놓고 연립 방정식을 풀어 미정계수를 결정합니다.
조건식을 이용하여 문자를 소거하고, 남은 문자에 대한 항등식으로 처리하는 것이 가장 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(pqr = -36\)
\(-36\)