📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 등식 \((1 – 2x + x^2)^4 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_8x^8\)이 \(x\)에 대한 항등식일 때, 홀수 첨자 계수의 합 \(a_1 + a_3 + a_5 + a_7\)의 값을 구하는 문제입니다.
이전 문제와 유사하게, 항등식의 성질을 이용하여 수치 대입법으로 해결합니다.
- \(x=1\) 대입: 양변에 \(x=1\)을 대입하여 모든 계수의 합 \(a_0 + a_1 + \dots + a_8\)을 구합니다.
- \(x=-1\) 대입: 양변에 \(x=-1\)을 대입하여 계수의 부호가 번갈아 나타나는 합 \(a_0 – a_1 + \dots + a_8\)을 구합니다.
- 두 결과 연립: \(x=1\) 대입 결과에서 \(x=-1\) 대입 결과를 빼면 짝수 첨자 계수가 소거되고, 홀수 첨자 계수의 합의 2배가 남게 됩니다.
- (선택) LHS 정리: 좌변 \((1 – 2x + x^2)^4\)는 \(((1-x)^2)^4 = (1-x)^8\)으로 간단히 할 수 있습니다. 이를 이용하면 계산이 더 편리해질 수 있지만, 해설 이미지에서는 원래 식에 그대로 대입했으므로 여기서는 그 방법을 따릅니다.
항등식 \(P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i\) 에 대하여:
- 모든 계수의 합: \(P(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n\)
- 교대 부호 계수 합: \(P(-1) = a_0 – a_1 + a_2 – \dots + (-1)^n a_n\)
- 짝수 첨자 계수 합: \(\frac{P(1) + P(-1)}{2} = a_0 + a_2 + a_4 + \dots\)
- 홀수 첨자 계수 합: \(\frac{P(1) – P(-1)}{2} = a_1 + a_3 + a_5 + \dots\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(x = 1\) 대입
주어진 항등식 \((1 – 2x + x^2)^4 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_8x^8\)에 \(x = 1\)을 대입합니다.
좌변(LHS):
$$ (1 – 2(1) + 1^2)^4 = (1 – 2 + 1)^4 = 0^4 = 0 $$
우변(RHS):
$$ a_0 + a_1(1) + a_2(1)^2 + \dots + a_8(1)^8 = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_8 $$
LHS = RHS 이므로,
$$ a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_8 = 0 \quad \cdots ① $$
Step 2: \(x = -1\) 대입
항등식에 \(x = -1\)을 대입합니다.
좌변(LHS):
$$ (1 – 2(-1) + (-1)^2)^4 = (1 + 2 + 1)^4 = 4^4 $$
\(4^4 = (2^2)^4 = 2^8 = 256\)
우변(RHS):
$$ a_0 + a_1(-1) + a_2(-1)^2 + \dots + a_8(-1)^8 $$
$$ = a_0 – a_1 + a_2 – a_3 + \dots + a_8 $$
LHS = RHS 이므로,
$$ a_0 – a_1 + a_2 – \dots + a_8 = 4^4 \quad \cdots ② $$
Step 3: 식 ① 에서 식 ② 빼기
Step 1에서 얻은 식 ①과 Step 2에서 얻은 식 ②를 이용하여, (식 ①) – (식 ②) 를 계산합니다.
좌변:
$$ 0 – 4^4 = -4^4 $$
우변:
$$ (a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_8) – (a_0 – a_1 + a_2 – \dots + a_8) $$
괄호를 풀면 짝수 첨자 항(\(a_0, a_2, \dots\))이 소거됩니다.
$$ (a_0 – a_0) + (a_1 – (-a_1)) + (a_2 – a_2) + (a_3 – (-a_3)) + \dots + (a_7 – (-a_7)) + (a_8 – a_8) $$
$$ = 2a_1 + 2a_3 + 2a_5 + 2a_7 $$
$$ = 2(a_1 + a_3 + a_5 + a_7) $$
따라서,
$$ 2(a_1 + a_3 + a_5 + a_7) = -4^4 $$
Step 4: 홀수 첨자 계수의 합 구하기
양변을 2로 나눕니다.
$$ a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = \frac{-4^4}{2} $$
지수 법칙을 이용하여 계산합니다.
$$ = -\frac{(2^2)^4}{2} = -\frac{2^8}{2^1} = -2^{8-1} = -2^7 $$
🧠 마무리 개념 정리
항등식에서 계수들의 합을 구하는 문제는 수치 대입법, 특히 \(x=1\)과 \(x=-1\)을 대입하는 방법을 효과적으로 활용할 수 있습니다.
- \(P(1)\)은 모든 계수의 합 (\(a_0+a_1+a_2+\dots\))
- \(P(-1)\)은 부호가 교대로 바뀌는 계수의 합 (\(a_0-a_1+a_2-\dots\))
- 짝수 첨자 계수의 합은 \(\frac{P(1)+P(-1)}{2}\)
- 홀수 첨자 계수의 합은 \(\frac{P(1)-P(-1)}{2}\)
이 문제에서는 홀수 첨자 계수의 합을 요구했으므로, \(P(1)\)과 \(P(-1)\)을 계산한 후 두 값의 차를 2로 나누어 답을 구했습니다. 또한, 좌변의 식 \((1-2x+x^2)\)이 \((1-x)^2\)임을 미리 파악하면 \(P(1)\)과 \(P(-1)\) 계산이 더 쉬워질 수 있습니다(\(P(x)=(1-x)^8 \implies P(1)=0^8=0, P(-1)=(1-(-1))^8 = 2^8\)).
✅ 최종 정답
\(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = -2^7\)
따라서 정답은 ② 입니다.