📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x) = x^3 + x^2 + ax + b\)가 이차식 \((x-1)(x+1)\)로 나누어떨어지도록 하는 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a^2 + b^2\)의 값을 구하는 문제입니다.
어떤 다항식 \(P(x)\)가 다른 다항식 \(D(x)\)로 나누어떨어진다는 것은 \(P(x)\)를 \(D(x)\)로 나누었을 때 나머지가 0임을 의미합니다. 이는 나머지 정리 또는 인수 정리를 이용하여 해결할 수 있습니다.
- 인수 정리 활용: 다항식 \(P(x)\)가 \((x-1)(x+1)\)로 나누어떨어진다는 것은 \(P(x)\)가 \((x-1)\)로도 나누어떨어지고 \((x+1)\)로도 나누어떨어진다는 의미입니다. 인수 정리에 따라, 이는 \(P(1) = 0\) 이고 \(P(-1) = 0\) 임을 의미합니다.
- 연립방정식 설정: \(P(1)=0\)과 \(P(-1)=0\) 조건을 이용하여 \(a, b\)에 대한 두 개의 방정식을 세웁니다.
- \(a, b\) 값 구하기: 세운 두 방정식을 연립하여 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- 최종 값 계산: 구한 \(a, b\) 값을 이용하여 \(a^2 + b^2\)를 계산합니다.
인수 정리:
다항식 \(P(x)\)에 대하여, \(P(\alpha) = 0\) 이면 \(P(x)\)는 \((x-\alpha)\)를 인수로 갖는다 (즉, \((x-\alpha)\)로 나누어떨어진다).
다항식 나눗셈의 항등식:
\(P(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 하면, \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)가 성립한다. 나누어떨어지는 경우는 \(R(x)=0\)이므로 \(P(x) = D(x)Q(x)\)이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 인수 정리 적용 조건 설정
다항식 \(P(x) = x^3 + x^2 + ax + b\)가 \((x-1)(x+1)\)로 나누어떨어지므로, \(P(x)\)는 \((x-1)\)과 \((x+1)\)을 모두 인수로 가집니다.
인수 정리에 따라 다음 두 조건이 성립해야 합니다.
- \(P(1) = 0\)
- \(P(-1) = 0\)
Step 2: \(P(1) = 0\) 조건 적용
\(P(x)\)에 \(x=1\)을 대입합니다.
$$ P(1) = (1)^3 + (1)^2 + a(1) + b = 1 + 1 + a + b = 2 + a + b $$
\(P(1) = 0\) 이므로,
$$ 2 + a + b = 0 $$
$$ a + b = -2 \quad \cdots ① $$
Step 3: \(P(-1) = 0\) 조건 적용
\(P(x)\)에 \(x=-1\)을 대입합니다.
$$ P(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + a(-1) + b = -1 + 1 – a + b = -a + b $$
\(P(-1) = 0\) 이므로,
$$ -a + b = 0 $$
$$ b = a \quad \cdots ② $$
Step 4: 연립방정식 풀이 (\(a, b\) 값 구하기)
식 ① (\(a+b=-2\))과 식 ② (\(b=a\))를 연립하여 \(a, b\)를 구합니다.
식 ②를 식 ①에 대입합니다.
$$ a + a = -2 $$
$$ 2a = -2 $$
$$ a = -1 $$
식 ②에서 \(b = a\) 이므로,
$$ b = -1 $$
따라서 \(\mathbf{a = -1}\), \(\mathbf{b = -1}\) 입니다.
Step 5: \(a^2 + b^2\) 값 계산
구한 \(a=-1\) 과 \(b=-1\) 를 이용하여 \(a^2 + b^2\)를 계산합니다.
$$ a^2 + b^2 = (-1)^2 + (-1)^2 $$
$$ = 1 + 1 = 2 $$
🧠 마무리 개념 정리
다항식이 다른 다항식으로 나누어떨어진다는 문제는 인수 정리를 활용하여 푸는 대표적인 유형입니다.
- \(P(x)\)가 \((x-\alpha)\)로 나누어떨어진다 \(\iff\) \(P(\alpha)=0\).
- \(P(x)\)가 \((x-\alpha)(x-\beta)\)로 나누어떨어진다 \(\iff\) \(P(\alpha)=0\) 이고 \(P(\beta)=0\).
나누는 식이 0이 되는 \(x\) 값을 원래 다항식에 대입하면 나머지가 0이 된다는 사실을 이용하여 미정계수에 대한 연립방정식을 세우고 풀 수 있습니다. 이는 나눗셈의 항등식 \(P(x) = D(x)Q(x)\)에 나누는 식 \(D(x)\)가 0이 되는 값을 대입하는 것과 같은 원리입니다.
✅ 최종 정답
\(a^2 + b^2 = 2\)
\(2\)