📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 등식 \(3x^2 + 4x – 4 = ax(x+1) + b(x+2)(x-2) – cx(x-1)\)이 \(x\)에 대한 항등식일 때, 상수 \(a, b, c\)의 곱 \(abc\)의 값을 구하는 문제입니다.
항등식은 \(x\)의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식이므로, 미정계수를 결정하기 위해 수치 대입법이나 계수 비교법을 사용할 수 있습니다.
- 수치 대입법: 우변의 각 항이 0이 되는 \(x\) 값(예: \(x=0, x=1, x=-1, x=2, x=-2\))을 대입하여 \(a, b, c\)에 대한 방정식을 얻어 푸는 방법입니다. 이 문제의 경우 우변의 구조 때문에 수치 대입법이 매우 효율적입니다.
- 계수 비교법: 우변을 전개하여 \(x\)에 대한 내림차순으로 정리한 후, 좌변의 계수와 비교하여 연립방정식을 푸는 방법입니다. (해설 이미지에서 사용한 방법)
여기서는 수치 대입법을 사용하여 풀고, 해설 이미지의 방법인 계수 비교법도 대안으로 설명합니다.
- 적절한 \(x\) 값(0, 1, -1 등)을 항등식에 대입하여 \(a, b, c\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 세운 연립방정식을 풀어 \(a, b, c\) 값을 구합니다.
- \(abc\) 값을 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정 (수치 대입법)
Step 1: \(x = 0\) 대입
주어진 항등식에 \(x = 0\)을 대입합니다.
좌변(LHS): \(3(0)^2 + 4(0) – 4 = -4\)
우변(RHS): \(a(0)(0+1) + b(0+2)(0-2) – c(0)(0-1) = 0 + b(2)(-2) – 0 = -4b\)
LHS = RHS 이므로,
$$ -4 = -4b $$
$$ \implies \mathbf{b = 1} $$
Step 2: \(x = 1\) 대입
항등식에 \(x = 1\)을 대입합니다.
좌변(LHS): \(3(1)^2 + 4(1) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3\)
우변(RHS): \(a(1)(1+1) + b(1+2)(1-2) – c(1)(1-1) = a(1)(2) + b(3)(-1) – c(1)(0) = 2a – 3b – 0 = 2a – 3b\)
LHS = RHS 이므로,
$$ 3 = 2a – 3b $$
Step 1에서 구한 \(b=1\)을 대입합니다.
$$ 3 = 2a – 3(1) $$
$$ 3 = 2a – 3 $$
$$ 2a = 6 \implies \mathbf{a = 3} $$
Step 3: \(x = -1\) 대입
항등식에 \(x = -1\)을 대입합니다.
좌변(LHS): \(3(-1)^2 + 4(-1) – 4 = 3(1) – 4 – 4 = 3 – 8 = -5\)
우변(RHS): \(a(-1)(-1+1) + b(-1+2)(-1-2) – c(-1)(-1-1) = a(-1)(0) + b(1)(-3) – c(-1)(-2) = 0 – 3b – 2c = -3b – 2c\)
LHS = RHS 이므로,
$$ -5 = -3b – 2c $$
Step 1에서 구한 \(b=1\)을 대입합니다.
$$ -5 = -3(1) – 2c $$
$$ -5 = -3 – 2c $$
$$ -2 = -2c \implies \mathbf{c = 1} $$
따라서 \(a = 3, b = 1, c = 1\) 입니다.
Step 4: \(abc\) 값 계산
구한 \(a, b, c\) 값을 곱합니다.
$$ abc = (3) \times (1) \times (1) = 3 $$
💡 대안: 계수 비교법 (해설 이미지 풀이)
Step 1 (대안): 우변 전개 및 정리
우변 \(ax(x+1) + b(x+2)(x-2) – cx(x-1)\)를 전개하여 \(x\)에 대해 정리합니다.
$$ ax(x+1) = ax^2 + ax $$
$$ b(x+2)(x-2) = b(x^2 – 4) = bx^2 – 4b $$
$$ -cx(x-1) = -c(x^2 – x) = -cx^2 + cx $$
모두 더하면:
$$ (ax^2 + bx^2 – cx^2) + (ax + cx) – 4b $$
$$ = (a + b – c)x^2 + (a + c)x – 4b $$
Step 2 (대안): 계수 비교
좌변 \(3x^2 + 4x – 4\) 와 우변 \((a + b – c)x^2 + (a + c)x – 4b\) 의 계수를 비교합니다.
- \(x^2\) 계수: \(a + b – c = 3 \quad \cdots ①\)
- \(x\) 계수: \(a + c = 4 \quad \cdots ②\)
- 상수항: \(-4b = -4 \quad \cdots ③\)
Step 3 (대안): 연립방정식 풀이
식 ③에서 \(-4b = -4 \implies \mathbf{b = 1}\) 입니다.
\(b=1\)을 식 ①에 대입합니다.
$$ a + 1 – c = 3 \implies a – c = 2 \quad \cdots ④ $$
이제 식 ②와 식 ④를 연립합니다.
②: \(a + c = 4\)
④: \(a – c = 2\)
식 ② + 식 ④:
$$ (a+c) + (a-c) = 4 + 2 $$
$$ 2a = 6 \implies \mathbf{a = 3} $$
\(a=3\)을 식 ②에 대입합니다.
$$ 3 + c = 4 \implies \mathbf{c = 1} $$
따라서 \(a=3, b=1, c=1\) 입니다.
Step 4 (대안): \(abc\) 값 계산
$$ abc = (3) \times (1) \times (1) = 3 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 항등식의 미정계수를 결정하는 방법을 묻고 있습니다.
- 항등식: 변수에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식입니다.
- 미정계수법:
- 수치 대입법: 식을 간단하게 만드는 특정 값(주로 인수들을 0으로 만드는 값)을 대입하여 계수를 구하는 방법입니다. 이 문제처럼 특정 인수가 반복되는 경우 매우 효율적입니다.
- 계수 비교법: 양변을 전개하여 동류항의 계수를 비교하여 계수를 구하는 방법입니다. 전개가 복잡하지 않거나, 모든 계수를 구해야 할 때 유용합니다.
문제의 구조를 파악하여 두 방법 중 더 편리한 방법을 선택하는 것이 좋습니다. 이 문제에서는 수치 대입법이 더 간단했습니다.
✅ 최종 정답
\(abc = 3\)
\(3\)
(보기는 없지만, 값이 3이므로 보기 ③과 일치할 것으로 예상됩니다.)