📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x) = x^3 + ax^2 + 4x – 3\)을 \(x+1\)로 나누었을 때의 나머지와 \(2x-1\)로 나누었을 때의 나머지가 서로 같다고 합니다. 이 조건을 만족하는 상수 \(a\)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제는 나머지 정리를 이용하여 해결할 수 있습니다.
- 나머지 정리 적용 (1): 다항식 \(P(x)\)를 \(x+1\)로 나눈 나머지는 \(P(-1)\)입니다.
- 나머지 정리 적용 (2): 다항식 \(P(x)\)를 \(2x-1\)로 나눈 나머지는 \(P(\frac{1}{2})\)입니다. (나누는 식 \(2x-1=0\)이 되는 \(x\) 값은 \(\frac{1}{2}\))
- 방정식 설정: 두 나머지가 서로 같다는 조건으로부터 \(P(-1) = P(\frac{1}{2})\) 라는 방정식을 세웁니다.
- \(a\) 값 계산: \(P(-1)\)과 \(P(\frac{1}{2})\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내고, 등식을 풀어 \(a\) 값을 구합니다.
나머지 정리:
다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(x-c\)로 나누었을 때의 나머지는 \(P(c)\)이다.
다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(ax-b\)로 나누었을 때의 나머지는 \(P(\frac{b}{a})\)이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(P(x)\)를 \(x+1\)로 나눈 나머지 계산
다항식 \(P(x) = x^3 + ax^2 + 4x – 3\)에 나머지 정리를 적용합니다.
\(x+1\)로 나눈 나머지는 \(P(-1)\)입니다.
$$ P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + 4(-1) – 3 $$
$$ = -1 + a(1) – 4 – 3 $$
$$ = a – 8 $$
Step 2: \(P(x)\)를 \(2x-1\)로 나눈 나머지 계산
\(2x-1\)로 나눈 나머지는 \(P(\frac{1}{2})\)입니다.
$$ P\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{2}\right) – 3 $$
$$ = \frac{1}{8} + a\left(\frac{1}{4}\right) + 2 – 3 $$
$$ = \frac{1}{8} + \frac{a}{4} – 1 $$
통분하여 정리하면:
$$ = \frac{1}{8} + \frac{2a}{8} – \frac{8}{8} = \frac{2a – 7}{8} $$
(해설 이미지에서는 \(\frac{a}{4} – \frac{7}{8}\)로 표현했습니다. 같은 값입니다.)
Step 3: 두 나머지가 같다는 방정식 설정 및 풀이
문제 조건에서 두 나머지가 서로 같으므로 \(P(-1) = P(\frac{1}{2})\) 입니다.
$$ a – 8 = \frac{2a – 7}{8} $$
양변에 8을 곱하여 분수를 없앱니다.
$$ 8(a – 8) = 2a – 7 $$
$$ 8a – 64 = 2a – 7 $$
\(a\) 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항합니다.
$$ 8a – 2a = 64 – 7 $$
$$ 6a = 57 $$
\(a\)에 대해 풉니다.
$$ a = \frac{57}{6} $$
분수를 약분합니다.
$$ a = \frac{19 \times 3}{2 \times 3} = \frac{19}{2} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 나머지 정리를 이용하여 다항식의 미정계수를 찾는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(ax-b\)로 나누었을 때의 나머지는 \(P(\frac{b}{a})\)라는 나머지 정리를 정확히 적용할 수 있어야 합니다.
- 문제에서 주어진 ‘나머지가 같다’는 조건을 방정식으로 설정(\(P(c_1) = P(c_2)\))합니다.
- 설정된 방정식을 풀어 미정계수(이 문제에서는 \(a\))의 값을 구합니다. 이 과정에서 분수 계산이나 방정식 풀이 능력이 필요합니다.
✅ 최종 정답
상수 \(a\)의 값은 \(\frac{19}{2}\) 입니다.
따라서 정답은 ⑤ 입니다.