📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(f(x) = x^3 + 2x^2 – x + 3\)이 주어져 있고, 이 다항식이 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x+a) = x^3 – x^2 + bx + 5\)를 만족시킨다고 합니다. 이때 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a-b\)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제는 \(f(x+a)\)를 직접 계산하여 \(x\)에 대한 다항식으로 정리한 후, 주어진 등식이 \(x\)에 대한 항등식임을 이용하여 계수 비교법으로 \(a\)와 \(b\)를 찾는 전략을 사용합니다.
- \(f(x)\)의 \(x\) 자리에 \((x+a)\)를 대입하여 \(f(x+a)\)를 구합니다.
- \(f(x+a)\)를 전개하고 \(x\)에 대한 내림차순으로 정리합니다.
- 정리된 식 \(f(x+a)\)와 주어진 식 \(x^3 – x^2 + bx + 5\)가 같다는 항등식을 세웁니다.
- 양변의 동류항 계수를 비교하여 \(a\)와 \(b\)에 대한 연립 방정식을 세웁니다.
- 연립 방정식을 풀어 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- \(a-b\)의 값을 계산합니다.
관련 공식:
- \((x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\)
- \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
- 항등식의 성질 (계수 비교법): 두 다항식이 모든 \(x\)에 대해 같다면, 대응하는 차수의 계수가 서로 같다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(f(x+a)\) 계산
\(f(x) = x^3 + 2x^2 – x + 3\) 에 \(x\) 대신 \((x+a)\)를 대입합니다.
$$ f(x+a) = (x+a)^3 + 2(x+a)^2 – (x+a) + 3 $$
Step 2: \(f(x+a)\) 전개 및 정리
각 항을 전개합니다.
- \((x+a)^3 = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3\)
- \(2(x+a)^2 = 2(x^2 + 2ax + a^2) = 2x^2 + 4ax + 2a^2\)
- \(-(x+a) = -x – a\)
전개된 항들을 모두 더하고 \(x\)에 대한 내림차순으로 정리합니다.
$$ f(x+a) = (x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3) + (2x^2 + 4ax + 2a^2) + (-x – a) + 3 $$
$$ = x^3 + (3a + 2)x^2 + (3a^2 + 4a – 1)x + (a^3 + 2a^2 – a + 3) $$
Step 3: 항등식 계수 비교
주어진 등식 \(f(x+a) = x^3 – x^2 + bx + 5\) 와 Step 2에서 구한 식이 모든 \(x\)에 대해 성립하는 항등식이므로, 양변의 계수를 비교합니다.
$$ x^3 + (3a + 2)x^2 + (3a^2 + 4a – 1)x + (a^3 + 2a^2 – a + 3) = x^3 – x^2 + bx + 5 $$
- \(x^3\) 계수: \(1 = 1\) (성립)
- \(x^2\) 계수: \(3a + 2 = -1\)
- \(x\) 계수: \(3a^2 + 4a – 1 = b\)
- 상수항: \(a^3 + 2a^2 – a + 3 = 5\)
Step 4: 연립방정식 풀이 (\(a, b\) 값 구하기)
먼저 \(x^2\) 계수 비교식에서 \(a\) 값을 구합니다.
$$ 3a + 2 = -1 $$
$$ 3a = -3 $$
$$ a = -1 $$
구한 \(a = -1\)이 상수항 비교식 \(a^3 + 2a^2 – a + 3 = 5\)를 만족하는지 확인합니다.
$$ (-1)^3 + 2(-1)^2 – (-1) + 3 = -1 + 2(1) + 1 + 3 = -1 + 2 + 1 + 3 = 5 $$
상수항 비교식이 성립하므로 \(a = -1\)은 올바른 값입니다.
이제 \(a = -1\)을 \(x\) 계수 비교식 \(3a^2 + 4a – 1 = b\)에 대입하여 \(b\) 값을 구합니다.
$$ b = 3(-1)^2 + 4(-1) – 1 $$
$$ b = 3(1) – 4 – 1 = 3 – 5 = -2 $$
따라서 \(\mathbf{a = -1}\), \(\mathbf{b = -2}\) 입니다.
Step 5: \(a-b\) 값 계산
구한 \(a\)와 \(b\) 값을 이용하여 \(a-b\)를 계산합니다.
$$ a – b = (-1) – (-2) = -1 + 2 = 1 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 항등식 개념과 계수 비교법을 이용하여 미지수를 찾는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식의 연산: 다항식에 변수 대신 다른 식(예: \(x+a\))을 대입하고, 이를 전개하여 정리하는 기본적인 다항식 연산 능력이 필요합니다. 특히 세제곱, 제곱 항의 전개 공식을 정확히 사용해야 합니다.
- 항등식: 등식에 포함된 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식입니다.
- 미정계수법 (계수 비교법): 항등식의 양변을 동일한 문자에 대해 내림차순으로 정리했을 때, 같은 차수의 항의 계수는 서로 같다는 성질을 이용하여 미정계수를 결정하는 방법입니다.
- 연립방정식 풀이: 계수 비교를 통해 얻어진 여러 개의 방정식을 연립하여 미지수 값을 구합니다.
다항식 \(f(x+a)\)를 정확하게 전개하고 정리하는 과정과, 항등식의 성질을 이용하여 계수를 비교하는 과정에서 실수가 없도록 주의해야 합니다.
✅ 최종 정답
\(a – b = 1\)
\(1\)