📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(f(x)\)에 대한 다음 정보가 주어졌습니다.
- \(f(x)\)를 \(x^2 – 1\)로 나누었을 때의 나머지는 \(2x + 1\)입니다.
- \(f(x)\)를 \(x^2 – 4\)로 나누었을 때의 나머지는 \(-x + 4\)입니다.
목표는 다항식 \(f(x)\)를 \(x^2 – x – 2\)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 것입니다.
이 문제는 나머지 정리를 확장하여 적용하는 문제입니다. 나누는 식들이 모두 인수분해 가능하므로, 각 나눗셈 정보로부터 \(f(x)\)의 특정 지점에서의 함수값을 얻어낼 수 있습니다.
- 나누는 식 인수분해: 주어진 모든 나누는 이차식을 인수분해합니다.
- \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\)
- \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\)
- \(x^2 – x – 2 = (x-2)(x+1)\)
- 나머지 정보로부터 함수값 구하기: 각 나눗셈 항등식과 나머지 정리를 이용하여 \(f(x)\)의 특정 값(\(f(1), f(-1), f(2), f(-2)\))을 구합니다.
- 최종 나눗셈 설정: \(f(x)\)를 \(x^2 – x – 2\)로 나눈 나머지를 구해야 합니다. 나누는 식이 이차식이므로 나머지를 \(R(x) = ax + b\) (단, \(a, b\)는 상수)로 설정합니다.
- 나눗셈 항등식 작성: \(f(x) = (x^2 – x – 2)Q(x) + ax + b\) 형태의 항등식을 세웁니다.
- 필요한 함수값 이용: 최종 나누는 식 \((x-2)(x+1)\)을 0으로 만드는 \(x=2\)와 \(x=-1\)에서의 함수값, 즉 \(f(2)\)와 \(f(-1)\)을 이용합니다. 이 값들은 Step 2에서 이미 구했을 것입니다.
- 연립방정식 풀이: \(f(2) = 2a + b\) 와 \(f(-1) = -a + b\) 를 이용하여 \(a, b\)를 구합니다.
- 나머지 결정: 구한 \(a, b\)를 \(R(x) = ax + b\)에 대입하여 최종 나머지를 구합니다.
나머지 정리:
다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(x-c\)로 나누었을 때의 나머지는 \(P(c)\)이다.
다항식 나눗셈의 항등식:
\(P(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 하면, \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)가 성립한다. (단, \(R(x)\)의 차수는 \(D(x)\)의 차수보다 작다.)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 조건 (\(x^2-1\)로 나눈 나머지) 이용
\(f(x)\)를 \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\)로 나눈 몫을 \(Q_1(x)\)라 하면, 나머지가 \(2x+1\)이므로
$$ f(x) = (x-1)(x+1)Q_1(x) + 2x + 1 $$
이 항등식에 \(x=1\)과 \(x=-1\)을 대입하면,
- \(f(1) = (1-1)(1+1)Q_1(1) + 2(1) + 1 = 0 + 2 + 1 = 3\)
- \(f(-1) = (-1-1)(-1+1)Q_1(-1) + 2(-1) + 1 = 0 – 2 + 1 = \mathbf{-1}\)
Step 2: 두 번째 조건 (\(x^2-4\)로 나눈 나머지) 이용
\(f(x)\)를 \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\)로 나눈 몫을 \(Q_2(x)\)라 하면, 나머지가 \(-x+4\)이므로
$$ f(x) = (x-2)(x+2)Q_2(x) – x + 4 $$
이 항등식에 \(x=2\)와 \(x=-2\)를 대입하면,
- \(f(2) = (2-2)(2+2)Q_2(2) – 2 + 4 = 0 + 2 = \mathbf{2}\)
- \(f(-2) = (-2-2)(-2+2)Q_2(-2) – (-2) + 4 = 0 + 2 + 4 = 6\)
Step 3: 최종 나눗셈 설정 및 항등식 작성
\(f(x)\)를 \(x^2 – x – 2\)로 나누었을 때의 나머지를 구해야 합니다.
나누는 식을 인수분해하면 \(x^2 – x – 2 = (x-2)(x+1)\) 입니다.
나머지는 나누는 식이 이차식이므로 최대 일차식입니다. 나머지를 \(R(x) = ax + b\)로 놓습니다.
몫을 \(Q_3(x)\)라 하면, 나눗셈 항등식은 다음과 같습니다.
$$ f(x) = (x-2)(x+1)Q_3(x) + ax + b \quad \cdots ① $$
Step 4: 필요한 함수값을 이용하여 연립방정식 세우기
항등식 ①의 양변에 \(x=2\)와 \(x=-1\)을 대입합니다. 이때 필요한 \(f(2)\)와 \(f(-1)\) 값은 Step 1과 Step 2에서 구했습니다 (\(f(2)=2, f(-1)=-1\)).
항등식 ①에 \(x=2\)를 대입:
$$ f(2) = (2-2)(2+1)Q_3(2) + a(2) + b $$
$$ 2 = 0 + 2a + b \implies \mathbf{2a + b = 2} \quad \cdots ② $$
항등식 ①에 \(x=-1\)을 대입:
$$ f(-1) = (-1-2)(-1+1)Q_3(-1) + a(-1) + b $$
$$ -1 = 0 – a + b \implies \mathbf{-a + b = -1} \quad \cdots ③ $$
Step 5: 연립방정식 풀이 (\(a, b\) 값 구하기)
식 ②와 식 ③을 연립하여 \(a, b\)를 구합니다.
②: \(2a + b = 2\)
③: \(-a + b = -1\)
식 ②에서 식 ③을 빼면 \(b\)가 소거됩니다.
$$ (2a + b) – (-a + b) = 2 – (-1) $$
$$ 2a + b + a – b = 2 + 1 $$
$$ 3a = 3 $$
$$ a = 1 $$
\(a = 1\)을 식 ③에 대입합니다.
$$ -(1) + b = -1 $$
$$ -1 + b = -1 $$
$$ b = 0 $$
따라서 \(\mathbf{a = 1}\), \(\mathbf{b = 0}\) 입니다.
Step 6: 나머지 \(R(x)\) 결정
나머지 \(R(x) = ax + b\)에 구한 \(a=1\)과 \(b=0\)을 대입합니다.
$$ R(x) = 1x + 0 = x $$
따라서 \(f(x)\)를 \(x^2 – x – 2\)로 나누었을 때의 나머지는 \(x\)입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 나눗셈과 나머지 정리를 복합적으로 활용하는 문제입니다.
- 다항식 \(f(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 나머지가 \(R(x)\)일 때, 나눗셈 항등식 \(f(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)를 세울 수 있습니다.
- 나누는 식 \(D(x)\)가 \(n\)차식이면, 나머지 \(R(x)\)는 최대 \(n-1\)차식입니다. (이 문제에서는 이차식으로 나누므로 나머지는 최대 일차식 \(ax+b\))
- 나머지 정리를 이용하여 \(f(c)\) 값을 구하고, 이를 나눗셈 항등식에 대입하여 나머지(\(ax+b\))의 계수를 결정합니다. 나누는 식 \(D(x)\)가 0이 되는 \(x\) 값들을 활용하는 것이 핵심입니다.
주어진 여러 나눗셈 조건에서 필요한 정보(\(f(c)\) 값)를 추출하고, 최종적으로 구하고자 하는 나눗셈에 대한 항등식을 세워 미정계수를 결정하는 과정을 정확히 수행하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(f(x)\)를 \(x^2 – x – 2\)로 나누었을 때의 나머지는 \(x\) 입니다.
따라서 정답은 ① 입니다.