📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x) = x^{2019} + x^5 + x^6\)을 \(D(x) = x^3 – x\)로 나눈 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(R(2)\)의 값을 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다항식 나눗셈의 항등식과 나머지 정리를 이용하는 것입니다.
- 나머지 설정: 나누는 식 \(D(x) = x^3 – x\)는 3차식이므로, 나머지 \(R(x)\)는 최대 2차식입니다. 따라서 \(R(x) = ax^2 + bx + c\) (단, \(a, b, c\)는 상수)로 설정합니다.
- 나눗셈 항등식 작성: \(P(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\)라고 하면, 나눗셈에 대한 항등식 \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)를 세웁니다.
- 나누는 식 인수분해 및 근 구하기: 나누는 식 \(D(x) = x^3 – x\)를 인수분해하고, \(D(x)=0\)이 되는 \(x\) 값(근)을 찾습니다. \(x^3 – x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)\) 이므로 근은 \(x=0, x=1, x=-1\) 입니다.
- 수치 대입: 항등식에 \(x=0, x=1, x=-1\)을 각각 대입합니다. \(D(x)Q(x)\) 항이 0이 되므로 \(P(x) = R(x)\) 형태의 식을 얻을 수 있습니다.
- \(a, b, c\) 값 구하기: Step 4에서 얻은 3개의 식을 연립하여 상수 \(a, b, c\)의 값을 구합니다.
- \(R(x)\) 결정 및 \(R(2)\) 계산: 구한 \(a, b, c\) 값을 \(R(x) = ax^2 + bx + c\)에 대입하여 나머지 \(R(x)\)를 확정하고, \(R(2)\)를 계산합니다.
다항식 나눗셈의 항등식:
\(P(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 하면, \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)가 성립한다. (단, \(R(x)\)의 차수는 \(D(x)\)의 차수보다 작다.)
나머지 정리의 활용:
항등식 \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)에서 \(D(c)=0\)이면 \(P(c) = R(c)\)이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 나머지 설정 및 나눗셈 항등식 작성
다항식 \(P(x) = x^{2019} + x^5 + x^6\)을 \(D(x) = x^3 – x\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\)라 하자.
나누는 식이 3차식이므로 나머지는 최대 2차식이다. 나머지를 \(R(x) = ax^2 + bx + c\)로 놓는다.
나눗셈 항등식은 다음과 같다.
$$ x^{2019} + x^5 + x^6 = (x^3 – x)Q(x) + ax^2 + bx + c \quad \cdots ① $$
Step 2: 나누는 식 인수분해 및 근 구하기
나누는 식 \(D(x) = x^3 – x\)를 인수분해한다.
$$ x^3 – x = x(x^2 – 1) = x(x – 1)(x + 1) $$
\(x^3 – x = 0\)이 되는 \(x\) 값은 \(x=0, x=1, x=-1\) 이다.
Step 3: 항등식에 근 대입하여 연립방정식 세우기
항등식 ①의 양변에 \(x=0, x=1, x=-1\)을 차례로 대입한다. 이때 \(x^3-x=0\)이므로 \((x^3-x)Q(x)\) 항은 0이 된다.
대입 결과는 \(P(x) = R(x)\)가 된다.
- \(x=0\) 대입:
좌변: \(P(0) = 0^{2019} + 0^5 + 0^6 = 0\)
우변: \(R(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c\)
따라서 \(\mathbf{c = 0}\) \(\quad \cdots ②\)
- \(x=1\) 대입:
좌변: \(P(1) = 1^{2019} + 1^5 + 1^6 = 1 + 1 + 1 = 3\)
우변: \(R(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c\)
따라서 \(\mathbf{a + b + c = 3}\) \(\quad \cdots ③\)
- \(x=-1\) 대입:
좌변: \(P(-1) = (-1)^{2019} + (-1)^5 + (-1)^6 = -1 + (-1) + 1 = -1\)
우변: \(R(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a – b + c\)
따라서 \(\mathbf{a – b + c = -1}\) \(\quad \cdots ④\)
Step 4: 연립방정식 풀이 (\(a, b, c\) 값 구하기)
식 ②, ③, ④를 연립하여 \(a, b, c\)를 구한다.
식 ②에서 \(c=0\)이다.
\(c=0\)을 식 ③과 ④에 대입한다.
③’: \(a + b = 3\)
④’: \(a – b = -1\)
식 ③’ + 식 ④’:
$$ (a+b) + (a-b) = 3 + (-1) $$
$$ 2a = 2 \implies \mathbf{a = 1} $$
\(a=1\)을 식 ③’에 대입한다.
$$ 1 + b = 3 \implies \mathbf{b = 2} $$
따라서 \(\mathbf{a = 1, b = 2, c = 0}\) 이다.
Step 5: 나머지 \(R(x)\) 결정 및 \(R(2)\) 계산
나머지 \(R(x) = ax^2 + bx + c\)에 구한 \(a=1, b=2, c=0\)을 대입한다.
$$ R(x) = 1x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x $$
이제 \(R(2)\)의 값을 계산한다.
$$ R(2) = (2)^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8 $$
🧠 마무리 개념 정리
다항식을 \(n\)차식 \(D(x)\)로 나눌 때, 나머지는 최대 \(n-1\)차식이 됩니다. 이 문제에서는 3차식으로 나누었으므로 나머지를 2차식 \(ax^2+bx+c\)로 설정합니다.
핵심 원리는 나눗셈 항등식 \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)을 세우고, 나누는 식 \(D(x)\)를 0으로 만드는 \(x\) 값들을 항등식에 대입하는 것입니다. 이렇게 하면 몫 \(Q(x)\)를 포함하는 항이 사라져 \(P(x)=R(x)\) 형태의 간단한 식을 얻을 수 있으며, 이를 통해 나머지 \(R(x)\)의 계수를 결정할 수 있습니다.
- 나누는 식 \(D(x)\)를 인수분해하여 근을 찾는다. (\(D(x)=0\)의 해)
- 근의 개수만큼의 방정식을 얻기 위해 항등식에 각 근을 대입한다.
- \(P(\text{근}) = R(\text{근})\) 형태의 식들을 연립하여 \(R(x)\)의 계수를 구한다.
✅ 최종 정답
\(R(2) = 8\)
\(8\)