📘 문제 이해 및 풀이 전략
최고차항의 계수가 2인 삼차식 \(f(x)\)가 주어져 있고, 다음 정보가 있습니다.
- \(f(x)\)를 \((x-1)^2\)으로 나누었을 때의 나머지는 \(3x-1\)입니다.
- \(f(x)\)를 \((x-1)^3\)으로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 합니다.
- \(R(0) \times R(2) = -9\)입니다.
목표는 \(R(4)\)의 값을 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- \(f(x)\) 설정: \(f(x)\)를 \((x-1)^3\)으로 나눈 몫과 나머지를 설정합니다. \(f(x)\)는 최고차항 계수가 2인 삼차식이므로, 몫은 상수 2가 되고, 나머지는 최대 2차식 \(R(x) = ax^2 + bx + c\)가 됩니다.
$$ f(x) = 2(x-1)^3 + ax^2 + bx + c $$
- 첫 번째 나머지 조건 활용: \(f(x)\)를 \((x-1)^2\)으로 나눈 나머지가 \(3x-1\)임을 이용하여 \(R(x)\)의 형태를 변형합니다.
- \(f(x) = 2(x-1)(x-1)^2 + R(x)\) 이므로, \(f(x)\)를 \((x-1)^2\)으로 나눈 나머지는 \(R(x)\)를 \((x-1)^2\)으로 나눈 나머지와 같습니다.
- 따라서 \(R(x) = ax^2 + bx + c\)를 \((x-1)^2\)으로 나누면, 몫은 \(a\)이고 나머지는 \(3x-1\)이 되어야 합니다. 즉,
$$ R(x) = a(x-1)^2 + 3x – 1 $$
이렇게 하면 \(R(x)\)가 미지수 \(a\) 하나만으로 표현됩니다.
- \(a\) 값 결정: 조건 \(R(0) \times R(2) = -9\)를 이용하여 \(a\) 값을 구합니다. \(R(0)\)과 \(R(2)\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내고, 이들의 곱이 -9가 되는 \(a\)를 찾습니다.
- \(R(x)\) 확정: 구한 \(a\) 값을 \(R(x)\) 식에 대입하여 \(R(x)\)를 완전히 결정합니다.
- \(R(4)\) 계산: 확정된 \(R(x)\)에 \(x=4\)를 대입하여 값을 계산합니다.
다항식 나눗셈의 항등식:
\(P(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 하면, \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)가 성립한다. (단, \(R(x)\)의 차수는 \(D(x)\)의 차수보다 작다.)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(f(x)\)를 \((x-1)^3\)으로 나눈 식으로 표현하기
\(f(x)\)는 최고차항 계수가 2인 삼차식입니다.
\(f(x)\)를 \((x-1)^3\) (3차식)으로 나누면 몫은 상수이고, 최고차항 계수를 맞추기 위해 몫은 2가 됩니다.
나머지 \(R(x)\)는 나누는 식이 3차식이므로 최대 2차식입니다.
따라서 나눗셈 항등식은 다음과 같습니다.
$$ f(x) = 2(x-1)^3 + R(x) $$
(단, \(R(x)\)는 2차 이하의 다항식)
Step 2: 첫 번째 나머지 조건을 이용하여 \(R(x)\) 형태 변형
문제에서 \(f(x)\)를 \((x-1)^2\)으로 나눈 나머지가 \(3x-1\)이라고 했습니다.
Step 1의 식 \(f(x) = 2(x-1)^3 + R(x) = 2(x-1)(x-1)^2 + R(x)\) 에서, \(2(x-1)(x-1)^2\) 항은 \((x-1)^2\)으로 나누어 떨어집니다.
따라서 \(f(x)\)를 \((x-1)^2\)으로 나눈 나머지는 \(R(x)\)를 \((x-1)^2\)으로 나눈 나머지와 같습니다. 이 나머지가 \(3x-1\)이어야 합니다.
\(R(x)\)는 최대 2차식이므로 \(R(x) = ax^2 + bx + c\)로 놓을 수 있습니다. 이를 \((x-1)^2 = x^2 – 2x + 1\)로 나눈 몫은 \(a\)가 됩니다. (최고차항 계수 비교)
따라서 나눗셈 항등식 형태로 \(R(x)\)를 표현하면:
$$ R(x) = a(x-1)^2 + (3x – 1) $$
이제 미지수가 \(a\) 하나로 줄었습니다.
Step 3: 조건 \(R(0) \times R(2) = -9\)를 이용하여 \(a\) 값 구하기
먼저 \(R(0)\)과 \(R(2)\)를 \(a\)로 표현합니다.
$$ R(0) = a(0-1)^2 + 3(0) – 1 = a(-1)^2 + 0 – 1 = a – 1 $$
$$ R(2) = a(2-1)^2 + 3(2) – 1 = a(1)^2 + 6 – 1 = a + 5 $$
이제 주어진 조건 \(R(0) \times R(2) = -9\)를 적용합니다.
$$ (a – 1)(a + 5) = -9 $$
좌변을 전개하여 \(a\)에 대한 이차방정식을 풉니다.
$$ a^2 + 4a – 5 = -9 $$
$$ a^2 + 4a + 4 = 0 $$
이는 완전제곱식입니다.
$$ (a + 2)^2 = 0 $$
따라서 \(\mathbf{a = -2}\) 입니다.
Step 4: 나머지 \(R(x)\) 확정
Step 2에서 구한 \(R(x) = a(x-1)^2 + 3x – 1\) 식에 \(a = -2\)를 대입합니다.
$$ R(x) = -2(x-1)^2 + 3x – 1 $$
Step 5: \(R(4)\) 계산
확정된 \(R(x)\)에 \(x=4\)를 대입하여 \(R(4)\) 값을 계산합니다.
$$ R(4) = -2(4-1)^2 + 3(4) – 1 $$
$$ = -2(3)^2 + 12 – 1 $$
$$ = -2(9) + 11 $$
$$ = -18 + 11 = -7 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식 나눗셈과 나머지에 대한 심화 문제입니다. 핵심 아이디어는 다음과 같습니다.
- 나눗셈 항등식 활용: \(f(x)\)를 나누는 식의 차수와 \(f(x)\)의 차수 및 최고차항 계수 정보를 이용하여 몫과 나머지의 형태를 설정합니다.
- 나머지 변형 테크닉: \(f(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 나머지를 알 때, \(f(x)\)를 \(D(x)\)의 인수를 포함하는 더 높은 차수의 식으로 나눈 나머지를 설정할 때 유용합니다. 즉, \(f(x) = D(x) \cdot (\text{다른 식}) + R_D(x)\) 이고, \(f(x)\)를 \(D(x) \cdot (x-c)\)로 나눈 나머지를 \(R'(x)\)라 하면, \(R'(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 나머지는 \(R_D(x)\)와 같다는 점을 이용합니다. 이 문제에서는 \(D(x)=(x-1)^2\), \(D(x)(x-c)=(x-1)^3\) 형태였습니다. 그래서 \(R(x)\)를 \((x-1)^2\)로 나눈 나머지가 \(3x-1\)임을 이용하여 \(R(x) = a(x-1)^2 + (3x-1)\)로 표현했습니다.
- 미정계수 결정: 추가적인 조건(예: \(R(0)R(2)=-9\))을 이용하여 나머지 식의 미정계수를 결정합니다.
특히, “나머지를 나누는 식으로 나누면 그 나머지가 원래 나머지와 같다”는 성질을 이해하고 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(R(4) = -7\)
\(-7\)