📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x)\)가 \(P(x) = (x^2 – 2x – 34)(ax + b) – 8\) 로 주어져 있습니다. 다항식 \(P(3x+1)\)을 \(x^2 – 4\)로 나누었을 때의 나머지가 4라고 합니다. 이때 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값을 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 두 번째 조건 활용: \(P(3x+1)\)을 \(x^2 – 4\)로 나눈 나머지가 4라는 정보를 이용하여 \(P(x)\)의 특정 지점에서의 함수값을 구합니다.
- 나눗셈 항등식을 세웁니다: \(P(3x+1) = (x^2-4)Q(x) + 4\).
- 나누는 식 \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\)를 0으로 만드는 \(x=2\)와 \(x=-2\)를 항등식에 대입합니다.
- 이를 통해 \(P(7)\)과 \(P(-5)\)의 값을 얻습니다.
- 원래 \(P(x)\) 식 활용: 주어진 \(P(x)\)의 정의 \(P(x) = (x^2 – 2x – 34)(ax + b) – 8\)에 Step 1에서 구한 \(x=7\)과 \(x=-5\)를 대입하여 \(a, b\)에 대한 두 개의 방정식을 세웁니다.
- 연립방정식 풀이: 세워진 두 방정식을 연립하여 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- \(a+b\) 계산: 구한 \(a, b\) 값을 더하여 최종 답을 계산합니다.
관련 개념:
- 다항식 나눗셈의 항등식: \(F(x) = D(x)Q(x) + R(x)\) (단, \(R(x)\)의 차수 < \(D(x)\)의 차수)
- 나머지 정리 활용: 항등식 \(F(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)에서 \(D(c)=0\)이면 \(F(c) = R(c)\)이다. 만약 나누는 식이 \(n\)차이고 나머지가 \(n-1\)차 이하의 상수이면, \(F(c)\)는 바로 그 나머지 상수값이 된다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 나눗셈 조건을 이용하여 \(P(7)\)과 \(P(-5)\) 값 구하기
다항식 \(P(3x+1)\)을 \(x^2-4\)로 나누었을 때의 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 4라고 하면 나눗셈 항등식은 다음과 같습니다.
$$ P(3x+1) = (x^2-4)Q(x) + 4 $$
나누는 식 \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\)이므로, 이 식이 0이 되는 \(x=2\)와 \(x=-2\)를 항등식에 대입합니다.
- \(x=2\) 대입:
$$ P(3(2)+1) = (2^2-4)Q(2) + 4 $$
$$ P(7) = (0)Q(2) + 4 $$
$$ \mathbf{P(7) = 4} $$
- \(x=-2\) 대입:
$$ P(3(-2)+1) = ((-2)^2-4)Q(-2) + 4 $$
$$ P(-5) = (0)Q(-2) + 4 $$
$$ \mathbf{P(-5) = 4} $$
Step 2: \(P(x)\) 정의를 이용하여 \(a, b\)에 대한 방정식 세우기
주어진 \(P(x)\) 식은 \(P(x) = (x^2 – 2x – 34)(ax + b) – 8\) 입니다.
Step 1에서 구한 \(P(7)=4\)와 \(P(-5)=4\)를 이 식에 적용합니다.
- \(P(7)=4\) 적용:
$$ P(7) = (7^2 – 2(7) – 34)(a(7) + b) – 8 = 4 $$
$$ (49 – 14 – 34)(7a + b) – 8 = 4 $$
$$ (1)(7a + b) – 8 = 4 $$
$$ 7a + b = 12 \quad \cdots ① $$
- \(P(-5)=4\) 적용:
$$ P(-5) = ((-5)^2 – 2(-5) – 34)(a(-5) + b) – 8 = 4 $$
$$ (25 + 10 – 34)(-5a + b) – 8 = 4 $$
$$ (1)(-5a + b) – 8 = 4 $$
$$ -5a + b = 12 \quad \cdots ② $$
Step 3: 연립방정식 풀이 (\(a, b\) 값 구하기)
식 ①과 식 ②를 연립하여 \(a, b\)를 구합니다.
①: \(7a + b = 12\)
②: \(-5a + b = 12\)
식 ①에서 식 ②를 빼면 \(b\)가 소거됩니다.
$$ (7a + b) – (-5a + b) = 12 – 12 $$
$$ 7a + b + 5a – b = 0 $$
$$ 12a = 0 $$
$$ a = 0 $$
\(a = 0\)을 식 ①에 대입합니다.
$$ 7(0) + b = 12 $$
$$ b = 12 $$
따라서 \(\mathbf{a = 0}\), \(\mathbf{b = 12}\) 입니다.
Step 4: \(a+b\) 값 계산
구한 \(a=0\) 과 \(b=12\) 를 더합니다.
$$ a + b = 0 + 12 = 12 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식 나눗셈의 항등식과 나머지 정리를 복합적으로 활용하는 문제입니다.
- 나머지 정보 활용: 다항식 \(F(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 나머지가 \(R(x)\)라는 정보는 항등식 \(F(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)을 의미합니다. \(D(c)=0\)인 \(c\) 값을 이 항등식에 대입하면 \(F(c)=R(c)\)라는 중요한 관계식을 얻을 수 있습니다.
- 함수 변형 대입: \(P(kx+m)\) 형태의 다항식을 다룰 때는 항등식에 \(x\)값을 대입했을 때 \(P\) 안의 값이 무엇이 되는지 정확히 계산해야 합니다. (예: \(P(3x+1)\)에 \(x=2\)를 대입하면 \(P(7)\)이 됨)
- 미정계수 결정: 위 과정들을 통해 얻어진 \(P(x)\)의 특정 값들을 \(P(x)\)의 원래 정의에 대입하여 미정계수(\(a, b\))에 대한 연립방정식을 세우고 풀 수 있습니다.
나눗셈 항등식을 정확히 세우고, 나누는 식을 0으로 만드는 \(x\) 값을 올바르게 대입하여 필요한 정보를 추출하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
\(a + b = 12\)
\(12\)