📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(f(x)\)에 대한 두 단계의 나눗셈 정보가 주어졌습니다.
- 1단계: \(f(x)\)를 \(x+1\)로 나누었을 때의 몫은 \(Q(x)\)이고 나머지는 -3입니다.
- 2단계: 몫 \(Q(x)\)를 \(x-2\)로 나누었을 때의 나머지는 3입니다.
목표는 다항식 \(f(x)\)를 \(x-2\)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다항식 나눗셈의 항등식과 나머지 정리를 연쇄적으로 사용하는 것입니다.
- 1단계 정보 항등식화: \(f(x)\)를 \(x+1\)로 나눈 정보를 이용하여 나눗셈 항등식 \(f(x) = (x+1)Q(x) – 3\)을 세웁니다.
- 2단계 정보 나머지 정리 적용: 몫 \(Q(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지가 3이라는 것은 나머지 정리에 의해 \(Q(2) = 3\)임을 의미합니다.
- 목표 나머지 구하기: \(f(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의해 \(f(2)\)입니다.
- 값 대입 및 계산: Step 1에서 세운 항등식에 \(x=2\)를 대입하고, Step 2에서 얻은 \(Q(2)=3\) 값을 이용하여 \(f(2)\)를 계산합니다.
(해설 이미지에서는 2단계 정보를 항등식으로 표현하여 1단계 식에 대입하는 방법을 사용했습니다. 여기서는 위 전략대로 풀어보겠습니다.)
나머지 정리:
다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(x-c\)로 나누었을 때의 나머지는 \(P(c)\)이다.
다항식 나눗셈의 항등식:
\(P(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 하면, \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)가 성립한다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 1단계 나눗셈 정보로 항등식 세우기
\(f(x)\)를 \(x+1\)로 나누었을 때의 몫이 \(Q(x)\)이고 나머지가 -3이므로, 나눗셈 항등식은 다음과 같습니다.
$$ f(x) = (x+1)Q(x) – 3 \quad \cdots ① $$
Step 2: 2단계 나눗셈 정보로 \(Q(2)\) 값 구하기
몫 \(Q(x)\)를 \(x-2\)로 나누었을 때의 나머지가 3입니다.
나머지 정리에 의해, 이는 \(Q(2)\)의 값이 3임을 의미합니다.
$$ Q(2) = 3 $$
Step 3: 목표 나머지 \(f(2)\) 계산하기
우리가 구하려는 것은 \(f(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지입니다. 나머지 정리에 의해 이 나머지는 \(f(2)\)입니다.
Step 1에서 세운 항등식 ①에 \(x=2\)를 대입합니다.
$$ f(2) = (2+1)Q(2) – 3 $$
Step 2에서 구한 \(Q(2)=3\)을 대입합니다.
$$ f(2) = (3)(3) – 3 $$
$$ = 9 – 3 = 6 $$
따라서 \(f(x)\)를 \(x-2\)로 나누었을 때의 나머지는 6입니다.
참고: 해설 이미지 풀이 방식
해설 이미지는 다음과 같은 방식으로 풀었습니다.
- \(f(x) = (x+1)Q(x) – 3\)
- \(Q(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 몫을 \(Q'(x)\)라 하면, \(Q(x) = (x-2)Q'(x) + 3\).
- 2번 식을 1번 식에 대입:
$$ f(x) = (x+1)\{(x-2)Q'(x) + 3\} – 3 $$
$$ = (x+1)(x-2)Q'(x) + 3(x+1) – 3 $$
$$ = (x+1)(x-2)Q'(x) + 3x + 3 – 3 $$
$$ = (x+1)(x-2)Q'(x) + 3x $$
- \(f(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지는 \(f(2)\)이다.
- 위 식에 \(x=2\)를 대입:
$$ f(2) = (2+1)(2-2)Q'(2) + 3(2) = (3)(0)Q'(2) + 6 = 6 $$
두 가지 방식 모두 동일한 결과를 줍니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 나머지 정리와 다항식 나눗셈의 항등식을 연쇄적으로 적용하는 문제입니다.
- 첫 번째 나눗셈 정보(\(f(x) = (x+1)Q(x) – 3\))를 항등식으로 표현합니다.
- 두 번째 나눗셈 정보(\(Q(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지)를 나머지 정리(\(Q(2)=3\))를 이용해 해석합니다.
- 최종적으로 구하고자 하는 나머지(\(f(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지) 역시 나머지 정리(\(f(2)\))를 이용합니다.
- 앞서 세운 항등식에 \(x=2\)를 대입하고, 알아낸 \(Q(2)\) 값을 이용하여 \(f(2)\)를 계산합니다.
몫에 대한 정보가 주어졌을 때, 이를 나머지 정리 또는 또 다른 나눗셈 항등식으로 연결하여 푸는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
\(f(x)\)를 \(x-2\)로 나누었을 때의 나머지는 \(6\) 입니다.
따라서 정답은 ⑤ 입니다.