📘 문제 이해 및 풀이 전략
문제는 \(2004^2\)을 5로 나누었을 때의 나머지를 구하는 것입니다. 2004를 직접 제곱하는 것은 매우 번거롭습니다. 대신, 수의 나눗셈과 나머지, 특히 합동식(모듈러 연산)의 성질을 이용하거나, 주어진 해설처럼 밑(2004)을 나누는 수(5)에 대한 식으로 표현하여 나머지를 찾는 전략을 사용합니다.
해설 이미지의 풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 밑인 2004를 5로 나눈 나머지를 구합니다.
- 2004를 ‘5 \(\times\) (몫) + (나머지)’ 형태로 표현합니다 (\(2004 = 5n + r\)).
- 이 표현을 제곱(\((5n+r)^2\))하고 전개합니다.
- 전개된 식을 5로 묶어 \(5 \times (\text{정수}) + (\text{나머지})\) 형태로 만들어 최종 나머지를 구합니다.
수의 나눗셈과 나머지:
정수 \(A\)를 양의 정수 \(B\)로 나누었을 때의 몫을 \(Q\), 나머지를 \(R\)이라 하면, \(A = BQ + R\) (단, \(0 \le R < B\))이 성립합니다.
합동식 성질 (참고):
- \(a \equiv b \pmod m\) 이면 \(a^k \equiv b^k \pmod m\) 입니다. (여기서 \(\equiv\)는 합동 기호, \(a \pmod m\)은 \(a\)를 \(m\)으로 나눈 나머지를 의미할 수 있습니다.)
- 이를 이용하면 \(2004^2 \pmod 5\)를 구하기 위해 먼저 \(2004 \pmod 5\)를 구한 후, 그 나머지를 제곱하여 다시 5로 나눈 나머지를 구해도 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정 (해설 이미지 방식)
Step 1: 2004를 5로 나눈 나머지 구하기
2004를 5로 나누어 봅니다. 2004의 일의 자리가 4이므로, 5로 나누면 나머지가 4입니다.
$$ 2004 = 5 \times 400 + 4 $$
이를 정수 \(n\)을 이용하여 표현하면 \(2004 = 5n + 4\) (단, \(n=400\)) 입니다.
(해설 이미지에서는 \(n\)을 자연수라고 했지만, 여기서는 몫이 400이므로 \(n=400\)인 특정 정수입니다. 일반적인 정수 \(n\)으로 보아도 무방합니다.)
Step 2: \(2004^2\) 계산 및 전개
Step 1의 표현을 이용하여 \(2004^2\)을 나타내고 전개합니다.
$$ 2004^2 = (5n + 4)^2 $$
$$ = (5n)^2 + 2(5n)(4) + 4^2 $$
$$ = 25n^2 + 40n + 16 $$
Step 3: 식을 5로 묶어 나머지 구하기
전개된 식 \(25n^2 + 40n + 16\)에서 5의 배수인 항들을 5로 묶습니다.
$$ 25n^2 + 40n + 16 = 5(5n^2) + 5(8n) + 16 $$
$$ = 5(5n^2 + 8n) + 16 $$
상수항 16을 다시 5로 나눕니다. \(16 = 5 \times 3 + 1\). 이를 대입합니다.
$$ = 5(5n^2 + 8n) + (5 \times 3 + 1) $$
전체 식을 5로 묶습니다.
$$ = 5(5n^2 + 8n + 3) + 1 $$
위 식은 \(5 \times (\text{정수}) + 1\) 형태입니다. 따라서 \(2004^2\)을 5로 나누었을 때의 나머지는 \(\mathbf{1}\)입니다.
🧠 마무리 개념 정리
어떤 수의 거듭제곱을 다른 수로 나눈 나머지를 구할 때는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.
- 밑을 먼저 나누기 (합동식 활용): 거듭제곱의 밑을 나누는 수로 나눈 나머지를 먼저 구하고, 그 나머지를 거듭제곱한 후 다시 나누는 수로 나눈 나머지를 구합니다. 즉, \(A^k\)를 \(B\)로 나눈 나머지는 \((A \pmod B)^k\)를 \(B\)로 나눈 나머지와 같습니다.
- 이 문제에 적용: \(2004 \pmod 5 = 4\). 따라서 \(2004^2 \pmod 5 = 4^2 \pmod 5 = 16 \pmod 5 = 1\).
- 또는 \(2004 \equiv 4 \equiv -1 \pmod 5\). 따라서 \(2004^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod 5\).
- 식 변형: 밑을 \(A = BQ + R\) 형태로 표현하고 이를 거듭제곱한 후, \(B\)로 묶어서 나머지를 찾는 방법입니다. (해설 이미지에서 사용한 방법)
특히 밑을 나눈 나머지가 1 또는 -1 이 되는 경우(합동식 사용 시), 거듭제곱 계산이 매우 간단해집니다.
✅ 최종 정답
\(2004^2\)을 5로 나눈 나머지는 1입니다.
따라서 정답은 ① 입니다.