📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x) = 2x^3 – 3x^2 + ax + b\)가 \(x+1\)과 \(2x-1\)로 모두 나누어떨어진다고 합니다. 목표는 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값을 구하는 것입니다.
다항식이 어떤 일차식으로 나누어떨어진다는 것은 인수 정리를 이용하라는 의미입니다.
- 인수 정리 적용: 다항식 \(P(x)\)가 \(x+1\)로 나누어떨어지므로 \(P(-1) = 0\)입니다. 또한 \(2x-1\)로 나누어떨어지므로 \(P(\frac{1}{2}) = 0\)입니다.
- 연립방정식 설정: \(P(-1)=0\)과 \(P(\frac{1}{2})=0\) 조건을 이용하여 \(a, b\)에 대한 두 개의 방정식을 세웁니다.
- \(a, b\) 값 구하기: 세운 두 방정식을 연립하여 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- 최종 값 계산: 구한 \(a, b\) 값을 이용하여 \(a+b\)를 계산합니다.
인수 정리:
다항식 \(P(x)\)에 대하여, \(P(c) = 0\)일 필요충분조건은 \(P(x)\)가 일차식 \((x-c)\)를 인수로 갖는(즉, 나누어떨어지는) 것이다.
일차식 \(ax-b\)에 대한 인수 정리: \(P(x)\)가 \(ax-b\)로 나누어떨어질 필요충분조건은 \(P(\frac{b}{a})=0\)이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(P(-1) = 0\) 조건 적용
다항식 \(P(x) = 2x^3 – 3x^2 + ax + b\)에 인수 정리를 적용합니다.
\(P(x)\)가 \(x+1\)로 나누어떨어지므로 \(P(-1) = 0\)입니다.
$$ P(-1) = 2(-1)^3 – 3(-1)^2 + a(-1) + b = 0 $$
$$ = 2(-1) – 3(1) – a + b = 0 $$
$$ = -2 – 3 – a + b = 0 $$
$$ -a + b = 5 \quad \cdots ① $$
Step 2: \(P(\frac{1}{2}) = 0\) 조건 적용
\(P(x)\)가 \(2x-1\)로 나누어떨어지므로 \(P(\frac{1}{2}) = 0\)입니다.
$$ P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 – 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 + a\left(\frac{1}{2}\right) + b = 0 $$
$$ = 2\left(\frac{1}{8}\right) – 3\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{a}{2} + b = 0 $$
$$ = \frac{1}{4} – \frac{3}{4} + \frac{a}{2} + b = 0 $$
$$ = -\frac{2}{4} + \frac{a}{2} + b = 0 $$
$$ -\frac{1}{2} + \frac{a}{2} + b = 0 $$
양변에 2를 곱하여 정리합니다.
$$ -1 + a + 2b = 0 $$
$$ a + 2b = 1 \quad \cdots ② $$
Step 3: 연립방정식 풀이 (\(a, b\) 값 구하기)
식 ①(\(-a+b=5\))과 식 ②(\(a+2b=1\))를 연립하여 \(a, b\)를 구합니다.
식 ① + 식 ②:
$$ (-a + b) + (a + 2b) = 5 + 1 $$
$$ 3b = 6 $$
$$ b = 2 $$
\(b = 2\)를 식 ①에 대입합니다.
$$ -a + 2 = 5 $$
$$ -a = 3 $$
$$ a = -3 $$
따라서 \(\mathbf{a = -3}\), \(\mathbf{b = 2}\) 입니다.
Step 4: \(a+b\) 값 계산
구한 \(a=-3\) 과 \(b=2\) 를 더합니다.
$$ a + b = (-3) + 2 = -1 $$
🧠 마무리 개념 정리
다항식 \(P(x)\)가 일차식 \(ax-b\)로 나누어떨어진다는 것은 인수 정리에 의해 \(P(\frac{b}{a})=0\)임을 의미합니다. 이 문제에서는 두 개의 일차식으로 나누어떨어지므로, 인수 정리를 두 번 적용하여 미정계수 \(a, b\)에 대한 두 개의 방정식을 얻을 수 있습니다. 이 연립방정식을 풀면 미정계수를 결정할 수 있습니다.
- \(P(x)\)가 \(x+1\)로 나누어떨어짐 \(\implies P(-1)=0\)
- \(P(x)\)가 \(2x-1\)로 나누어떨어짐 \(\implies P(\frac{1}{2})=0\)
- 두 식을 연립하여 \(a, b\)를 구한다.
✅ 최종 정답
\(a + b = -1\)
따라서 정답은 ① 입니다.