📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(f(x) = ax^4 – 3x^2 + (a-1)x – 4\)에 대하여, \(f(x+3)\)이 \(x+2\)로 나누어떨어진다고 합니다. 목표는 상수 \(a\)의 값을 구하는 것입니다.
다항식 \(F(x)\)가 \(x-c\)로 나누어떨어진다는 것은 인수 정리에 의해 \(F(c)=0\)임을 의미합니다. 이 문제에서는 \(F(x)\)가 \(f(x+3)\)이고, 나누는 식이 \(x+2\) (즉, \(x-(-2)\))입니다.
- 인수 정리 적용: 다항식 \(f(x+3)\)이 \(x+2\)로 나누어떨어지므로, \(x+2=0\)이 되는 \(x=-2\)를 \(f(x+3)\)에 대입하면 그 값이 0이어야 합니다. 즉, \(f(-2+3) = f(1) = 0\)입니다.
- \(f(1)\) 계산: 주어진 \(f(x)\)의 식에 \(x=1\)을 대입하여 \(f(1)\)을 \(a\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 풀이: \(f(1)=0\)이라는 방정식을 세우고, 이를 풀어 상수 \(a\)의 값을 구합니다.
인수 정리:
다항식 \(P(x)\)에 대하여, \(P(c) = 0\)일 필요충분조건은 \(P(x)\)가 일차식 \((x-c)\)를 인수로 갖는(즉, 나누어떨어지는) 것이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 인수 정리를 이용하여 조건 해석
다항식 \(f(x+3)\)이 \(x+2\)로 나누어떨어지므로, 인수 정리에 의해 \(x+2=0\)이 되는 \(x=-2\)를 \(f(x+3)\)에 대입하면 0이 됩니다.
$$ f(-2+3) = 0 $$
$$ \implies f(1) = 0 $$
따라서 우리는 \(f(1)=0\)이라는 조건을 얻습니다.
Step 2: \(f(1)\) 계산
주어진 다항식 \(f(x) = ax^4 – 3x^2 + (a-1)x – 4\)에 \(x=1\)을 대입합니다.
$$ f(1) = a(1)^4 – 3(1)^2 + (a-1)(1) – 4 $$
$$ = a(1) – 3(1) + (a-1) – 4 $$
$$ = a – 3 + a – 1 – 4 $$
$$ = 2a – 8 $$
Step 3: \(a\) 값 구하기
Step 1에서 얻은 조건 \(f(1)=0\)과 Step 2에서 계산한 \(f(1) = 2a – 8\)을 결합합니다.
$$ 2a – 8 = 0 $$
이 방정식을 풀어 \(a\)를 구합니다.
$$ 2a = 8 $$
$$ a = 4 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 인수 정리를 정확히 이해하고 적용하는 문제입니다.
- 다항식 \(F(x)\)가 \(x-c\)로 나누어떨어진다는 조건은 \(F(c)=0\)과 같습니다.
- 문제에서 나누어지는 다항식이 \(f(x)\)가 아닌 \(f(x+3)\)과 같이 변형된 형태로 주어졌을 때, 인수 정리를 적용하려면 \(x-c=0\)이 되는 \(x\) 값을 \(f(\dots)\) 안의 식 전체에 대입해야 함을 유의해야 합니다. (\(f(x+3)\)을 \(x+2\)로 나누므로 \(x=-2\)를 대입하여 \(f(-2+3)=f(1)=0\)을 얻음)
- 얻어진 조건(\(f(1)=0\))을 원래 \(f(x)\)의 정의에 대입하여 미정계수(\(a\))에 대한 방정식을 세우고 풀면 됩니다.
✅ 최종 정답
상수 \(a\)의 값은 4입니다.
따라서 정답은 ④ 입니다.