📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x) = x^4 – 2x^3 + ax^2 – 4x + b\)가 다항식 \((x+1)(x-2)\)로 나누어떨어진다고 합니다. 목표는 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값을 구하는 것입니다.
다항식 \(P(x)\)가 \((x+1)(x-2)\)로 나누어떨어진다는 것은 \(P(x)\)가 \((x+1)\)과 \((x-2)\)를 모두 인수로 갖는다는 의미입니다. 이는 인수 정리를 이용하여 해결할 수 있습니다.
- 인수 정리 적용:
- \(P(x)\)가 \(x+1\)로 나누어떨어지므로, \(P(-1) = 0\)입니다.
- \(P(x)\)가 \(x-2\)로 나누어떨어지므로, \(P(2) = 0\)입니다.
- 연립방정식 설정: \(P(-1)=0\)과 \(P(2)=0\) 조건을 이용하여 \(a, b\)에 대한 두 개의 방정식을 세웁니다.
- \(a, b\) 값 구하기: 세운 두 방정식을 연립하여 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- 최종 값 계산: 구한 \(a, b\) 값을 이용하여 \(a+b\)를 계산합니다.
인수 정리:
다항식 \(P(x)\)에 대하여, \(P(c) = 0\)일 필요충분조건은 \(P(x)\)가 일차식 \((x-c)\)를 인수로 갖는(즉, 나누어떨어지는) 것이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(P(-1) = 0\) 조건 적용
다항식 \(P(x) = x^4 – 2x^3 + ax^2 – 4x + b\)에 인수 정리를 적용합니다.
\(P(x)\)가 \(x+1\)로 나누어떨어지므로 \(P(-1) = 0\)입니다.
$$ P(-1) = (-1)^4 – 2(-1)^3 + a(-1)^2 – 4(-1) + b = 0 $$
$$ = 1 – 2(-1) + a(1) + 4 + b = 0 $$
$$ = 1 + 2 + a + 4 + b = 0 $$
$$ a + b + 7 = 0 $$
$$ a + b = -7 \quad \cdots ① $$
Step 2: \(P(2) = 0\) 조건 적용
\(P(x)\)가 \(x-2\)로 나누어떨어지므로 \(P(2) = 0\)입니다.
$$ P(2) = (2)^4 – 2(2)^3 + a(2)^2 – 4(2) + b = 0 $$
$$ = 16 – 2(8) + a(4) – 8 + b = 0 $$
$$ = 16 – 16 + 4a – 8 + b = 0 $$
$$ 4a + b – 8 = 0 $$
$$ 4a + b = 8 \quad \cdots ② $$
Step 3: 연립방정식 풀이 (\(a, b\) 값 구하기)
식 ①(\(a+b=-7\))과 식 ②(\(4a+b=8\))를 연립하여 \(a, b\)를 구합니다.
식 ②에서 식 ①을 빼면 \(b\)가 소거됩니다.
$$ (4a + b) – (a + b) = 8 – (-7) $$
$$ 4a + b – a – b = 8 + 7 $$
$$ 3a = 15 $$
$$ a = 5 $$
\(a = 5\)를 식 ①에 대입합니다.
$$ 5 + b = -7 $$
$$ b = -7 – 5 = -12 $$
따라서 \(\mathbf{a = 5}\), \(\mathbf{b = -12}\) 입니다.
Step 4: \(a+b\) 값 계산
구한 \(a=5\) 와 \(b=-12\) 를 더합니다.
$$ a + b = 5 + (-12) = -7 $$
(사실 Step 1에서 \(a+b=-7\)임을 바로 알 수 있었습니다. 하지만 문제 풀이 과정을 명확히 하기 위해 \(a, b\) 값을 모두 구했습니다.)
🧠 마무리 개념 정리
다항식 \(P(x)\)가 \((x-c_1)(x-c_2)\)로 나누어떨어진다는 것은 인수 정리에 의해 \(P(c_1)=0\)이고 \(P(c_2)=0\)임을 의미합니다. 이 두 조건을 이용하여 미정계수(\(a, b\))에 대한 연립방정식을 세우고 풀 수 있습니다.
- \(P(x)\)가 \(x+1\)로 나누어떨어짐 \(\implies P(-1)=0\)
- \(P(x)\)가 \(x-2\)로 나누어떨어짐 \(\implies P(2)=0\)
- 두 식을 연립하여 \(a, b\)를 구하거나, 문제에서 요구하는 값을 직접 구한다.
✅ 최종 정답
\(a + b = -7\)
따라서 정답은 ③ 입니다.