📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x) = x^3 + ax^2 – x + b\)를 일차식 \(x-k\)로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하는 조립제법 과정이 그림으로 주어졌습니다. 이 조립제법 결과를 이용하여 상수 \(a, b, c, d, k\)의 값을 찾고, 제시된 보기 중 옳지 않은 것을 고르는 문제입니다.
풀이 전략은 조립제법의 원리를 이용하여 표의 빈칸과 주어진 값들 사이의 관계를 식으로 나타내고, 이를 순서대로 풀어 미지수를 결정하는 것입니다.
- 주어진 조립제법 표를 분석하여 계산 과정을 식으로 표현합니다.
- 계산 관계식을 이용하여 \(k, c, a, d, b\)의 값을 차례대로 구합니다.
- 구한 값과 보기의 내용을 비교하여 옳지 않은 것을 찾습니다.
조립제법:
다항식 \(P(x)\)를 \(x-k\)로 나눌 때, 계수들을 이용하여 몫의 계수와 나머지를 구하는 방법입니다.
k | (P(x)의 계수들)
| (k * 아래 숫자) ...
----------------------
(몫의 계수들) | 나머지
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 조립제법 표 분석 및 관계식 도출
주어진 조립제법 표는 다음과 같습니다.
| \(k\) | 1 | \(a\) | -1 | \(b\) |
| \(c\) | \(d\) | 22 | ||
| 1 | 6 | 11 | 27 |
조립제법 계산 과정에 따라 다음 관계식이 성립합니다.
- 1) 첫 번째 계수는 그대로 내려옵니다: \(1\)
- 2) \(k \times 1 = c\)
- 3) \(a + c = 6\)
- 4) \(k \times 6 = d\)
- 5) \(-1 + d = 11\)
- 6) \(k \times 11 = 22\)
- 7) \(b + 22 = 27\) (나머지)
Step 2: \(k, c, a, d, b\) 값 계산
위 관계식을 이용하여 각 미지수를 순서대로 구합니다.
- 관계식 6)에서: \(11k = 22 \implies \mathbf{k = 2}\)
- 관계식 2)에서: \(c = k \times 1 = 2 \times 1 = 2 \implies \mathbf{c = 2}\)
- 관계식 3)에서: \(a + c = 6 \implies a + 2 = 6 \implies \mathbf{a = 4}\)
- 관계식 4)에서: \(d = k \times 6 = 2 \times 6 = 12 \implies \mathbf{d = 12}\)
- 관계식 5)에서: \(-1 + d = 11 \implies -1 + 12 = 11\) (계산 결과가 일치하는지 확인)
- 관계식 7)에서: \(b + 22 = 27 \implies \mathbf{b = 5}\)
따라서 구한 값들은 \(a=4, b=5, c=2, d=12, k=2\) 입니다.
Step 3: 보기 검토
계산된 값과 보기의 내용을 비교합니다.
- ① \(a = 4\) : 옳음
- ② \(b = 5\) : 옳음
- ③ \(c = 2\) : 옳음
- ④ \(d = 12\) : 옳음
- ⑤ \(k = -2\) : 옳지 않음 (계산 결과는 \(k=2\))
🧠 마무리 개념 정리
조립제법은 다항식을 일차식 \(x-k\)로 나눌 때 몫과 나머지를 효율적으로 구하는 방법입니다. 조립제법의 계산 순서는 다음과 같습니다.
- 나누어지는 다항식의 계수를 내림차순으로 적습니다. (빠진 차수는 0으로)
- 일차식 \(x-k\)를 0으로 만드는 값 \(k\)를 왼쪽에 적습니다.
- 최고차항 계수는 그대로 내려 적습니다.
- 내려 적은 수와 \(k\)를 곱하여 오른쪽 위 칸에 적습니다.
- 위 칸과 아래 칸의 수를 더하여 내려 적습니다.
- 4, 5번 과정을 마지막 계수까지 반복합니다.
- 마지막에 내려 적은 수가 나머지가 되고, 그 앞의 수들이 몫의 계수가 됩니다.
문제에서 조립제법 표가 주어졌을 때는 각 칸의 값들이 어떤 계산으로 나왔는지 역추적하여 미지수를 결정할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
계산 결과 \(k=2\) 이므로, 보기 ⑤ \(k=-2\)는 옳지 않습니다.
따라서 정답은 ⑤ 입니다.