📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x) = 2x^3 – 5x^2 + 2x + 2\)를 일차식 \(D(x) = 2x – 3\)으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하는 문제입니다.
핵심 주의사항: 조립제법은 나누는 식이 \(x-k\) 형태일 때 직접적으로 사용됩니다. 이 문제처럼 나누는 식이 \(ax-b\) (\(a \neq 1\)) 형태일 경우, 약간의 변형이 필요합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 나누는 식 \(2x-3\)을 \(a(x-k)\) 형태로 변형합니다: \(2x – 3 = 2(x – \frac{3}{2})\).
- 먼저 \(P(x)\)를 \((x – \frac{3}{2})\)로 나누었을 때의 몫 \(Q'(x)\)와 나머지 \(R\)을 조립제법을 이용하여 구합니다. (이때 \(k = \frac{3}{2}\)를 사용)
- 다항식 나눗셈의 항등식 \(P(x) = (x – \frac{3}{2})Q'(x) + R\)을 원래 나누는 식 \(2x-3\)을 포함하도록 변형합니다.
$$ P(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \left(x – \frac{3}{2}\right) Q'(x) + R = \frac{1}{2} (2x – 3) Q'(x) + R $$
$$ P(x) = (2x – 3) \left(\frac{1}{2} Q'(x)\right) + R $$
- 위 변형된 항등식에서 \(P(x)\)를 \(2x-3\)으로 나누었을 때의 실제 몫은 \(\frac{1}{2}Q'(x)\)이고, 나머지는 \(R\)임을 확인합니다. (나머지는 변하지 않지만, 몫은 조립제법에서 구한 몫 \(Q'(x)\)에 \(\frac{1}{a}\) (여기서는 \(\frac{1}{2}\))를 곱해야 합니다.)
조립제법과 \(ax-b\) 나눗셈:
다항식 \(P(x)\)를 \(ax-b\)로 나눌 때,
- \(x – \frac{b}{a}\)로 조립제법을 시행하여 몫 \(Q'(x)\)와 나머지 \(R\)을 구한다. (\(P(x) = (x-\frac{b}{a})Q'(x)+R\))
- 실제 몫은 \(\frac{1}{a}Q'(x)\) 이고, 나머지는 \(R\)이다. (\(P(x) = (ax-b)[\frac{1}{a}Q'(x)]+R\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 조립제법 준비
다항식 \(P(x) = 2x^3 – 5x^2 + 2x + 2\)의 계수는 \(2, -5, 2, 2\) 입니다.
나누는 식 \(2x-3\)을 0으로 만드는 \(x\) 값은 \(\frac{3}{2}\) 입니다. 조립제법에 이 값을 사용합니다 (\(k=\frac{3}{2}\)).
Step 2: 조립제법 시행
| \(\frac{3}{2}\) | 2 | -5 | 2 | 2 |
| 3 | -3 | \(-\frac{3}{2}\) | ||
| 2 | -2 | -1 | \(\frac{1}{2}\) |
조립제법 계산 과정:
- 첫 번째 계수 2를 그대로 내립니다.
- \(\frac{3}{2} \times 2 = 3\). -5와 3을 더하면 -2.
- \(\frac{3}{2} \times (-2) = -3\). 2와 -3을 더하면 -1.
- \(\frac{3}{2} \times (-1) = -\frac{3}{2}\). 2와 \(-\frac{3}{2}\)를 더하면 \(\frac{4}{2} – \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\).
Step 3: 조립제법 결과 해석 (몫과 나머지 찾기)
조립제법 결과에서 마지막 수 \(\frac{1}{2}\)는 나머지 \(R\)입니다.
나머지 앞의 수들 \(2, -2, -1\)은 \(x – \frac{3}{2}\)로 나누었을 때의 몫 \(Q'(x)\)의 계수입니다.
$$ Q'(x) = 2x^2 – 2x – 1 $$
$$ R = \frac{1}{2} $$
즉, \(P(x) = \left(x – \frac{3}{2}\right)(2x^2 – 2x – 1) + \frac{1}{2}\) 입니다.
Step 4: 실제 몫과 나머지 결정 ( \(2x-3\)으로 나눈 경우)
우리는 \(P(x)\)를 \(2x-3\)으로 나눈 몫과 나머지를 구해야 합니다.
Step 3의 항등식을 변형합니다.
$$ P(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \left(x – \frac{3}{2}\right) (2x^2 – 2x – 1) + \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{1}{2} (2x – 3) (2x^2 – 2x – 1) + \frac{1}{2} $$
$$ = (2x – 3) \left[ \frac{1}{2} (2x^2 – 2x – 1) \right] + \frac{1}{2} $$
$$ = (2x – 3) \left( x^2 – x – \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2} $$
따라서 \(P(x)\)를 \(2x-3\)으로 나누었을 때의 몫은 \(x^2 – x – \frac{1}{2}\) 이고, 나머지는 \(\frac{1}{2}\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
조립제법은 나누는 식이 \(x-k\) 형태일 때 유용합니다. 나누는 식이 \(ax-b\) 형태일 때는 다음과 같이 적용해야 합니다.
- 먼저 \(k = \frac{b}{a}\)를 이용하여 조립제법을 시행합니다.
- 조립제법 결과로 나온 몫을 \(Q'(x)\), 나머지를 \(R\)이라고 합니다.
- 원래 식 \(P(x)\)를 \(ax-b\)로 나눈 실제 몫은 \(\frac{1}{a}Q'(x)\) 입니다.
- 나머지는 조립제법 결과와 동일하게 \(R\)입니다.
즉, 나누는 식의 \(x\) 계수가 1이 아닐 때는 조립제법으로 구한 몫을 그 계수로 나누어 주어야 실제 몫이 된다는 점을 기억해야 합니다.
✅ 최종 정답
몫: \(x^2 – x – \frac{1}{2}\), 나머지: \(\frac{1}{2}\)
따라서 정답은 ② 입니다.