📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 5개의 등식 중에서 옳지 않은 것을 찾는 문제입니다. 각 등식은 곱셈 공식 또는 인수분해 공식을 나타내고 있습니다. 각 보기를 개별적으로 검토하여 공식이 올바르게 적용되었는지 확인합니다.
📚 관련 인수분해/곱셈 공식
- \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)
- \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
- \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)
- \(x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc = (x+a)(x+b)(x+c)\) (특수한 경우의 삼차식 인수분해)
- \(a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 – ab + b^2)\) (복이차식 인수분해)
각 보기 검토:
- ① \(a^3 – 3a^2 + 3a – 1 = (a – 1)^3\)
\((a-b)^3\) 공식에서 \(b=1\)을 대입한 경우입니다. \((a-1)^3 = a^3 – 3a^2(1) + 3a(1)^2 – 1^3 = a^3 – 3a^2 + 3a – 1\) 이므로, 이 등식은 옳습니다.
- ② \(x^3 – 9x^2y + 27xy^2 – 27y^3 = (x – 3y)^3\)
\((a-b)^3\) 공식에서 \(a=x, b=3y\)를 대입한 경우입니다. \((x – 3y)^3 = x^3 – 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 – (3y)^3 = x^3 – 9x^2y + 3x(9y^2) – 27y^3 = x^3 – 9x^2y + 27xy^2 – 27y^3\) 이므로, 이 등식은 옳습니다.
- ③ \(x^3 – 8 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4)\)
좌변은 \(x^3 – 2^3\) 형태이므로, \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) 공식을 사용해야 합니다. 이 공식에 \(a=x, b=2\)를 대입하면 \(x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + x(2) + 2^2) = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)\) 입니다. 주어진 등식의 우변 \((x + 2)(x^2 – 2x + 4)\)는 \(a^3 + b^3\) 공식에서 \(a=x, b=2\)일 때의 인수분해 결과(\(x^3 + 2^3\))입니다. 따라서 이 등식은 옳지 않습니다.
- ④ \(x^3 – 5x^2 + 6x = x(x – 2)(x – 3)\)
좌변을 인수분해합니다. 먼저 공통인수 \(x\)로 묶습니다: \(x^3 – 5x^2 + 6x = x(x^2 – 5x + 6)\).
괄호 안의 이차식 \(x^2 – 5x + 6\)은 곱해서 6, 더해서 -5가 되는 두 수(-2, -3)를 찾아 인수분해합니다: \(x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
따라서 \(x^3 – 5x^2 + 6x = x(x-2)(x-3)\) 이므로, 이 등식은 옳습니다.
- ⑤ \(a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 – ab + b^2)\)
이는 복이차식 인수분해의 대표적인 공식입니다. \(a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) – a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 – (ab)^2\) 로 변형한 후 합차 공식을 적용하면 \((a^2 + b^2 – ab)(a^2 + b^2 + ab)\) 가 되어 주어진 등식과 같습니다. 따라서 이 등식은 옳습니다.
✅ 단계별 풀이 요약 및 확인
Step 1: 보기 ① 확인
\((a-1)^3\) 공식을 적용하면 \(a^3 – 3a^2 + 3a – 1\)이므로 옳습니다.
Step 2: 보기 ② 확인
\((x-3y)^3\) 공식을 적용하면 \(x^3 – 9x^2y + 27xy^2 – 27y^3\)이므로 옳습니다.
Step 3: 보기 ③ 확인
세제곱 차 공식 \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)을 적용하면 \(x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)\) 입니다. 보기의 우변은 \(x^3+8\)의 인수분해 결과이므로 옳지 않습니다.
Step 4: 보기 ④ 확인
좌변을 인수분해하면 \(x(x^2 – 5x + 6) = x(x – 2)(x – 3)\) 이므로 옳습니다.
Step 5: 보기 ⑤ 확인
복이차식 인수분해 공식 \(a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 – ab + b^2)\) 이므로 옳습니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 기본적인 곱셈 공식 및 인수분해 공식을 정확히 알고 있는지 확인하는 문제입니다. 특히 자주 사용되는 공식들은 암기하고 있어야 합니다.
- 세제곱 합/차 공식: \(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\) (복호동순)
- 완전 세제곱 공식: \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\) (복호동순)
- 복이차식 인수분해: \(a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2+b^2)^2 – (ab)^2 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)
- 삼차식 인수분해 (인수정리 이용 또는 특정 패턴)
각 보기의 좌변과 우변이 일치하는지, 사용된 공식이 올바른지를 꼼꼼히 확인하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
옳지 않은 것은 보기 ③ 입니다.
이유: \(x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)\) 이 올바른 인수분해입니다.