📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 등식 \(x^3 + ax^2 + (a-5)x + 6 = (x+3)(x^2 – bx + 2)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립한다고 합니다. 즉, 이 등식은 \(x\)에 대한 항등식입니다. 목표는 상수 \(a, b\)의 값을 구하여 그 곱 \(ab\)를 계산하는 것입니다.
항등식의 미정계수를 결정하는 방법에는 계수 비교법과 수치 대입법이 있습니다.
- 계수 비교법: 양변을 전개하여 \(x\)에 대한 내림차순으로 정리한 후, 동류항의 계수를 비교하는 방법입니다.
- 수치 대입법: 항등식은 \(x\)에 어떤 값을 대입해도 성립하므로, 계산이 편리해지는 적절한 \(x\) 값을 대입하여 계수를 찾는 방법입니다. 특히 우변에 \((x+3)\)이라는 인수가 있으므로 \(x=-3\)을 대입하면 우변이 0이 되어 식이 간단해집니다. (해설 이미지에서 사용한 방법)
이 풀이에서는 해설 이미지와 같이 수치 대입법을 우선적으로 사용하고, 대안으로 계수 비교법도 살펴보겠습니다.
- 우변의 인수를 0으로 만드는 \(x=-3\)을 양변에 대입하여 \(a\) 값을 구합니다.
- 계산을 용이하게 하는 다른 \(x\) 값(예: \(x=0\), \(x=1\), \(x=-1\) 등, 해설 이미지는 \(x=-1\) 사용)을 대입하여 \(b\) 값을 구합니다.
- 구한 \(a, b\) 값을 곱하여 \(ab\)를 계산합니다.
항등식의 성질:
- \(P(x) = Q(x)\)가 \(x\)에 대한 항등식이면,
- 모든 \(x\)에 대해 등식이 성립한다 (수치 대입법의 근거).
- 양변의 동류항 계수가 각각 같다 (계수 비교법의 근거).
✅ 단계별 풀이 과정 (수치 대입법)
Step 1: \(x = -3\) 대입하여 \(a\) 값 구하기
주어진 항등식 \(x^3 + ax^2 + (a-5)x + 6 = (x+3)(x^2 – bx + 2)\)에 \(x = -3\)을 대입합니다.
우변은 \((-3+3)((-3)^2 – b(-3) + 2) = 0 \times (\dots) = 0\) 입니다.
좌변에 \(x = -3\)을 대입하면:
$$ (-3)^3 + a(-3)^2 + (a-5)(-3) + 6 = 0 $$
$$ -27 + a(9) – 3a + 15 + 6 = 0 $$
$$ -27 + 9a – 3a + 21 = 0 $$
$$ 6a – 6 = 0 $$
$$ 6a = 6 \implies a = 1 $$
따라서 \(\mathbf{a = 1}\) 입니다.
Step 2: \(x = -1\) 대입하여 \(b\) 값 구하기
이제 \(a=1\)임을 알고 있으므로, 항등식은 \(x^3 + x^2 + (1-5)x + 6 = (x+3)(x^2 – bx + 2)\), 즉 \(x^3 + x^2 – 4x + 6 = (x+3)(x^2 – bx + 2)\) 입니다.
계산이 비교적 간단한 \(x = -1\)을 대입합니다. (해설 이미지에서 사용한 값)
좌변에 \(x = -1\)을 대입하면:
$$ (-1)^3 + (-1)^2 – 4(-1) + 6 = -1 + 1 + 4 + 6 = 10 $$
우변에 \(x = -1\)을 대입하면:
$$ (-1+3)((-1)^2 – b(-1) + 2) = (2)(1 + b + 2) $$
$$ = 2(b + 3) = 2b + 6 $$
좌변과 우변이 같아야 하므로:
$$ 10 = 2b + 6 $$
$$ 2b = 10 – 6 = 4 $$
$$ b = 2 $$
따라서 \(\mathbf{b = 2}\) 입니다.
(다른 값, 예를 들어 \(x=0\)을 대입해도 됩니다. \(x=0\) 대입 시 좌변=6, 우변=\((0+3)(0-0+2) = 3 \times 2 = 6\). 즉 \(6=6\)이 되어 \(b\)를 구하는 데 도움이 되지 않습니다. \(x=1\) 대입 시 좌변=\(1+1-4+6=4\), 우변=\((1+3)(1-b+2) = 4(3-b) = 12-4b\). \(4 = 12-4b \implies 4b=8 \implies b=2\). 동일한 결과를 얻습니다.)
Step 3: \(ab\) 값 계산
구한 \(a=1\) 과 \(b=2\) 를 곱합니다.
$$ ab = (1) \times (2) = 2 $$
💡 대안: 계수 비교법
Step 1 (대안): 우변 전개
우변 \((x+3)(x^2 – bx + 2)\)를 전개합니다.
$$ (x+3)(x^2 – bx + 2) = x(x^2 – bx + 2) + 3(x^2 – bx + 2) $$
$$ = (x^3 – bx^2 + 2x) + (3x^2 – 3bx + 6) $$
동류항끼리 정리합니다.
$$ = x^3 + (-b + 3)x^2 + (2 – 3b)x + 6 $$
Step 2 (대안): 계수 비교
좌변 \(x^3 + ax^2 + (a-5)x + 6\)과 우변 \(x^3 + (3 – b)x^2 + (2 – 3b)x + 6\)의 계수를 비교합니다.
- \(x^2\) 계수: \(a = 3 – b\)
- \(x\) 계수: \(a – 5 = 2 – 3b\)
- 상수항: \(6 = 6\) (일치 확인)
Step 3 (대안): 연립방정식 풀이
첫 번째 식 \(a = 3 – b\)를 두 번째 식 \(a – 5 = 2 – 3b\)에 대입합니다.
$$ (3 – b) – 5 = 2 – 3b $$
$$ -2 – b = 2 – 3b $$
$$ 3b – b = 2 + 2 $$
$$ 2b = 4 \implies b = 2 $$
\(b=2\)를 \(a = 3 – b\)에 대입하면 \(a = 3 – 2 = 1\).
따라서 \(\mathbf{a=1, b=2}\).
Step 4 (대안): \(ab\) 값 계산
\(ab = (1)(2) = 2\).
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 항등식의 미정계수를 결정하는 방법을 묻고 있습니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 항등식: 변수에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식입니다.
- 미정계수법: 항등식에서 정해지지 않은 계수를 찾는 방법입니다.
- 수치 대입법: 식을 간단하게 만드는 특정 값을 변수에 대입하여 계수를 구합니다. 인수가 포함된 경우(\((x-k)\) 등)에 특히 유용합니다.
- 계수 비교법: 양변을 같은 변수에 대해 내림차순으로 정리한 후, 동류항의 계수가 같다는 성질을 이용하여 계수를 구합니다. 양변을 전개하기 쉬운 경우에 유용합니다.
문제의 형태를 보고 더 효율적인 방법을 선택하는 것이 좋습니다. 이 문제의 경우, 우변에 \((x+3)\) 인수가 있어 \(x=-3\) 대입이 매우 효과적이므로 수치 대입법이 편리합니다.
✅ 최종 정답
\(ab = 2\)
따라서 정답은 ③ 입니다.