📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 등식 \(kx^2 + x + ky^2 + y – 12k + 2 = 0\)이 임의의 실수 \(k\)에 대하여 성립한다고 합니다. 이는 이 등식이 \(k\)에 대한 항등식임을 의미합니다. 목표는 이 항등식 조건을 만족하는 상수 \(x, y\)에 대하여 \(xy\)의 값을 구하는 것입니다.
\(k\)에 대한 항등식 문제를 푸는 기본 전략은 다음과 같습니다.
- \(k\)에 대해 정리: 주어진 등식을 \(k\)가 포함된 항과 포함되지 않은 항으로 묶어 \(A \cdot k + B = 0\)의 형태로 정리합니다. (여기서 \(A\)와 \(B\)는 \(k\)를 포함하지 않는 \(x, y\)에 대한 식입니다.)
- 항등식 조건 적용: 등식이 모든 \(k\)에 대해 성립하려면, \(k\)의 계수 \(A\)와 상수항 \(B\)가 모두 0이어야 합니다. 즉, \(A = 0\) 이고 \(B = 0\) 입니다.
- 연립방정식 풀이: \(A=0\)과 \(B=0\)이라는 두 개의 방정식을 얻게 되며, 이를 연립하여 \(x, y\) 사이의 관계를 찾습니다.
- \(xy\) 값 계산: 얻어진 \(x, y\)에 대한 관계식(주로 \(x+y\)와 \(x^2+y^2\))을 이용하여 곱셈 공식 변형을 통해 \(xy\)의 값을 계산합니다.
관련 공식:
- \(k\)에 대한 항등식: \(A \cdot k + B = 0\) 이 모든 실수 \(k\)에 대해 성립할 필요충분조건은 \(A = 0\) 이고 \(B = 0\) 입니다.
- 곱셈 공식 변형: \((x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\), 따라서 \(xy = \frac{(x+y)^2 – (x^2+y^2)}{2}\) 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 등식을 \(k\)에 대해 정리
주어진 등식 \(kx^2 + x + ky^2 + y – 12k + 2 = 0\) 에서 \(k\)가 포함된 항과 포함되지 않은 항을 묶습니다.
$$ (kx^2 + ky^2 – 12k) + (x + y + 2) = 0 $$
\(k\)로 묶어 \(A \cdot k + B = 0\) 형태로 만듭니다.
$$ (x^2 + y^2 – 12)k + (x + y + 2) = 0 $$
Step 2: 항등식 조건 적용
이 등식이 모든 실수 \(k\)에 대하여 성립해야 하므로, \(k\)의 계수와 상수항이 모두 0이어야 합니다.
\(k\)의 계수: \(x^2 + y^2 – 12 = 0 \implies x^2 + y^2 = 12 \quad \cdots ①\)
상수항: \(x + y + 2 = 0 \implies x + y = -2 \quad \cdots ②\)
Step 3: \(xy\) 값 계산
곱셈 공식 변형 \((x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\)를 이용합니다.
Step 2에서 얻은 식 ① (\(x^2 + y^2 = 12\))과 식 ② (\(x + y = -2\))를 대입합니다.
$$ (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy $$
$$ (-2)^2 = 12 + 2xy $$
$$ 4 = 12 + 2xy $$
이제 \(xy\)에 대해 정리합니다.
$$ 2xy = 4 – 12 = -8 $$
$$ xy = \frac{-8}{2} = -4 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 “임의의(모든) 실수 \(k\)에 대하여 성립“이라는 문구를 보고 \(k\)에 대한 항등식임을 파악하는 것이 핵심입니다. 항등식 문제는 다음과 같은 절차로 해결합니다.
- 항등식의 기준이 되는 문자(이 문제에서는 \(k\))에 대하여 식을 내림차순으로 정리합니다. (\(Ak + B = 0\) 꼴)
- 항등식의 성질에 따라, 각 항의 계수( \(k\)의 계수 \(A\), 상수항 \(B\) )가 모두 0이어야 함을 이용하여 방정식을 세웁니다. (\(A=0, B=0\))
- 세워진 연립 방정식을 풀어 문제에서 요구하는 값을 구합니다. 이 때, 곱셈 공식 변형 등이 필요할 수 있습니다.
항등식의 기준 문자를 정확히 파악하고, 그 문자에 대해 식을 정리하는 것이 가장 중요한 첫 단계입니다.
✅ 최종 정답
\(xy = -4\)
따라서 정답은 ① 입니다.